Approfondissements de lycée/SE Démonstrations

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Démonstrations

[modifier] Exercices sur l'induction mathématique

1.

Démontrer que $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,$

Lorsque n=1,

Coté gauche de l'équation $= 1^2 = 1\,$

Coté droit de l'équation $= \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\,$

Par conséquent coté gauche = coté droit

Par conséquent, c'est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\,$

$\begin{matrix}1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 & = & \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \\ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 & = & \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \\ \ & = & \frac{1}{6}(k+1) \left [ k(2k+1) + 6(k+1) \right ] \\ \ & = & \frac{1}{6}(k+1) \left [ 2k^2 + 7k + 6 \right ] \\ \ & = & \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{matrix}\,$

Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.

Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.

2.

Démontrer pour $n \ge 1\,$ ,

$(1 + \sqrt{5})^n = x_n + y_n\sqrt{5}\,$

où $x_n\,$ et $y_n\,$ sont des entiers.

Lorsque n=1,

$1 + \sqrt{5} = x_1 + y_1\sqrt{5}\,$

Par conséquent $x_1=1\,$ et $y_1=1\,$ , qui sont tous les deux des entiers.

Par conséquent, ceci est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $(1 + \sqrt{5})^k = x_k + y_k\sqrt{5}$ où $x_k\,$ et $y_k\,$ sont des entiers.

$\begin{matrix} (1 + \sqrt{5})^k & = & x_k + y_k\sqrt{5} \\ (1 + \sqrt{5})^{k+1} & = & (x_k + y_k\sqrt{5})(1 + \sqrt{5}) \\ \ & = & x_k + y_k\sqrt{5} + x_k\sqrt{5} + 5y_k \\ \ & = & (x_k + 5y_k) + (x_k + y_k)\sqrt{5} \end{matrix}$