Approfondissements de lycée/SP Démonstrations

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Démonstrations

[modifier] Ensemble de problèmes sur les démonstrations

1.

Pour tout
\begin{matrix} a & > & 0\\ n+a & > & n\\ n & > & n-a\\ \sqrt{n} & > & \sqrt{n-a}\\ 1 & > & \frac{\sqrt{n-a}}{\sqrt{n}}\\ \frac{1}{\sqrt{n-a}} & > & \frac{1}{\sqrt{n}} \end{matrix}
Par conséquent \frac{1}{\sqrt{1}} , \frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{\sqrt{3}}... > \frac{1}{\sqrt{n}}
Lorsque a>b et c>d, a+c>b+d (voir aussi Remplacer ceci si vous en trouvez une meilleure).
Par conséquent, nous avons :
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}......+\frac{1}{\sqrt{n}}>n\times\frac{1}{\sqrt{n}}
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}......+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{n}{\sqrt{n}}\times\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}......+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{n\sqrt{n}}{n}
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}......+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}


3.

Soit la proposition
{n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n} = 2^n que nous nommons P(n)
Supposons que ceci est vrai pour un certain n, alors
{n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n} = 2^n
2\times \left \{ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose 2} \right \} = 2^{n+1}
\left \{ {n \choose 0} + {n \choose n} \right \} + \left \{ {n \choose 0} + 2{n \choose 1} + 2{n \choose 2} + ... + 2{n \choose n-1} + {n \choose n} \right \} = 2^{n+1}
\left \{ {n \choose 0} + {n \choose n} \right \} + \left \{ {n \choose 0} + {n \choose 1} \right \} + \left \{ {n \choose 1} + {n \choose 2} \right \} + \left \{ {n \choose 2} + {n \choose 3} \right \} + ... + \left \{ {n \choose n-1} + {n \choose n} \right \} = 2^{n+1}
Maintenant, en utilisant les identités de cette fonction :{n \choose a} + {n \choose a+1} = {n+1 \choose a+1} (Note : si quelqu'un trouve des wikilivres qui ont mentionné ceci, inclure un lien ici !), nous avons :
\left \{ {n \choose 0} + {n \choose n} \right \} + {n+1 \choose 1} + {n+1 \choose 2} + {n+1 \choose 3} + ... + {n+1 \choose n} = 2^{n+1}
Puisque {n \choose 0} = {n \choose n} = 1 pour tout n,
{n+1 \choose 0} + {n+1 \choose n+1} + {n+1 \choose 1} + {n+1 \choose 2} + {n+1 \choose 3} + ... + {n+1 \choose n} = 2^{n+1}
{n+1 \choose 0} + {n+1 \choose 1} + {n+1 \choose 2} + {n+1 \choose 3} + ... + {n+1 \choose n} + {n+1 \choose n+1} = 2^{n+1}
Par conséquent P(n) implique P(n+1), et par une simple substitution P(0) est vrai.
Par conséquent, par le principe de récurrence ou d'induction mathématique, P(n) est vrai pour tout n.


5.

Soit P(x)=x^n + y^n\, un polynôme avec x comme variable, y et n sont des constantes.
\begin{matrix} P(-y) & = & (-y)^n + y^n\\ \ & = & -y^n + y^n(\mbox{lorsque n est un entier impair})\\ \ & = & 0 \end{matrix}
Par conséquent, par le théorème de factorisation (lien ici, svp), (x-(-y))=(x+y) est un facteur de P(x).
Puisque l'autre facteur, qui est aussi un polynôme, possède une valeur entière pour tout entier x,y et n (j'ai enlevé la partie sur la vérification de la valeur entière de tous les coefficients pour ce moment), il est maintenant évident que
\frac{x^n+y^n}{x+y} est un entier pour toute valeur entière de x,y et n lorsque n est impair.
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