Algèbre/Espace vectoriel
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Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire.
[modifier] Définition
Soient un ensemble E non vide et K un corps.
On munit l'ensemble E d'une loi interne + et d'une loi externe ¤ de sorte que :
- (E, +) est un groupe commutatif,
- la loi externe vérifie :
- quel que soit le nombre n appartenant à K, quels que soient x et y appartenant à E, n ¤ (x + y) = (n ¤ x) + (n ¤ y)
- quels que soient n et m appartenant à K, quel que soit x appartenant à E, (n + m) ¤ x = (n ¤ x) + (m ¤ x)
- quels que soient n et m appartenant à K, quel que soit x appartenant à E, n ¤ (m ¤ x) = (n ¤ m) ¤ x
- quel que soit x appartenant à E, 1 ¤ x = x
Le triplet (E, + , ¤) s'appelle un espace vectoriel. Les éléments de E s'appellent des vecteurs et les éléments de K des scalaires. Le vecteur nul 0E appartient à tout espace vectoriel.
En réalité, les axiomes précédents sont "calqués" sur les règles géométriques que l'on observe sur les vecteurs du plan ou de l'espace, c'est ce qui justifie l'appellation d'espace vectoriel.
