Algèbre/Fonctions et applications

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications

Définition intuitive d'une application

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Définitions :

Une application, d'un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un et un seul élément y de l'ensemble F. y est appelé l'image de x par f et se note f(x).
x est un antécédent de y par f.
E s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
L'application f de E dans F se note

${\begin{matrix}f:&E&\rightarrow &F\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}$ ou $f:E\rightarrow F$ ou encore $f:x\mapsto f(x)$

La partie G formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l'ensemble E s'appelle le graphe de f. Nous avons donc $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}$

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement ${\mathcal {A}}(E,F)$ ou $F^{E}$ ou ${\mathcal {F}}(E,F)$.
Si E=F, l'ensemble des applications de E dans E se note plus simplement ${\mathcal {A}}(E)$ ou $E^{E}$ ou ${\mathcal {F}}(E)$.

Remarques :

1. Souvent la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
2. L'image d'un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
3. Pour tout x élément de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l'application f. Il ne faut en aucun cas confondre l'application f, avec l'image par f d'un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante:

pour f=exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?

1. Si f est une application de E dans F alors nous avons la propriété

$\forall x\in E,\exists !y\in F,y=f(x)$

Définition (égalité des applications):

Deux applications $f:E\rightarrow F$ et $g:E'\rightarrow F'$ sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

1. E=E' (même ensemble de départ)
2. F=F' (même ensemble d'arrivée)
3. pour tout x, f(x)=g(x).

Application et relation

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Définitions :

Un graphe fonctionnel dans $E\times F$ est une partie $G$ de $E\times F$ telle que pour tout $x\in E$, il existe au plus un élément $y\in F$ tel que $(x,y)\in G$.

Une fonction est un triplet $f=(E,F,G)$, où $G$ est un graphe fonctionnel dans $E\times F$. Si $f=(E,F,G)$ est une fonction, si $(x,y)\in G$, on note $f(x)$ pour $y$. On dit alors que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$, et que $y$ est l'image de $x$ par $f$. Une application est une fonction telle que tout $x\in E$ admet une image $y=f(x)\in F$.

Exemples d'applications

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Définition :

Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l'application de E dans E, notée $\operatorname {id} _{E}$, définie par

$\forall x\in E,\operatorname {id} _{E}(x)=x$.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante s'il existe un élément a de F, tel que pour tout x de E, on ait f(x)=a, c'est-à-dire si

$\exists a\in F,\forall x\in E,f(x)=a$.

Exemples :

• ${\begin{matrix}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}-x\end{matrix}}$ est une application.
• ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto &x^{2}+xy\end{matrix}}$ est une application.

Définition :

Soit A une partie d'un ensemble quelconque E. Nous appelons application caractéristique de A (ou fonction indicatrice de A), l'application de E dans {0, 1} notée $\chi _{A}$ ou définie par

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&si&x\in A\\0&si&x\not \in A\end{cases}}$.

Prolongements et restrictions

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À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. Nous appelons la restriction de f à E', l'application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) i.e. telle que

$\forall x\in E',g(x)=f(x)$

Cette application g est habituellement notée $f_{|E'}$.

Exemple :

L'application $\exp :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ peut être restreinte à $\mathbb {R} ^{*}$ en l'application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &e^{x}\end{matrix}}$.

Prolongements d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, i.e. telle que

$\forall x\in E,g(x)=f(x)$

Remarque :

Il existe en général plusieurs prolongements d'une même application.

Exemples :

1. Les applications ${\begin{matrix}g_{1}:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x\end{matrix}}$ et ${\begin{matrix}g_{2}:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\left\{{\begin{matrix}x&{\rm {\,si\,}}&x\neq 0\\1&{\rm {\,si\,}}&x=0\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$
   sont des prolongements à [0, 1] de l'application ${\begin{matrix}f:&]0,1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x\end{matrix}}$.
2. sin est un prolongement à $\mathbb {R}$ de l'application ${\begin{matrix}f:&[0,2\pi [&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\sin x\end{matrix}}$.

Restriction de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l'ensemble d'arrivée de l'application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (i.e. l'image de f soit incluse dans F').
Dans ce cas l'application g se note $f^{|F'}$

Extension de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. Nous pouvons toujours considérer l'application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Composition des applications

Définition :

Soient E, F et G trois ensembles quelconques. Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. La composée de f par g est l'application de E dans G notée $g\circ f$ qui à tout x de E associe g(f(x)), i.e. l'application définie par

$\forall x\in E,(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Exemple :

Considérons les applications ${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &e^{x}\end{matrix}}$ et ${\begin{matrix}g:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{matrix}}$. Alors les composées de f par g et de g par f sont les applications ${\begin{matrix}g\circ f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &(e^{x})^{2}=e^{2x}\end{matrix}}$ et ${\begin{matrix}f\circ g:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &e^{(x^{2})}=e^{x^{2}}\end{matrix}}$.

Exercice :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Déterminer

$f\circ \operatorname {Id} _{E}$ et $\operatorname {Id} _{F}\circ f$

Remarque :

En général nous n'avons pas $g\circ f=f\circ g$.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque, f et g deux applications de ${\mathcal {A}}(E)$. Nous disons que f et g commutent (pour la composition des applications) si $g\circ f=f\circ g$.

Remarque :

Soient E un ensemble quelconque, et f une application de ${\mathcal {A}}(E)$. Nous avons

$f\circ \operatorname {Id} _{E}=\operatorname {Id} _{E}\circ f=f$

et donc $\operatorname {Id} _{E}$ commute avec toute application de ${\mathcal {A}}(E)$.

Proposition (associativité de la loi de composition) :

Soient E, F, G et H quatre ensembles quelconques. Soient $f:E\rightarrow F$, $g:F\rightarrow G$ et $h:G\rightarrow H$ trois applications. Alors nous avons

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

Démonstration :

$h\circ (g\circ f)$ et $(h\circ g)\circ f$ sont bien des applications de E dans H et nous avons

${\begin{matrix}\forall x\in E,&[h\circ (g\circ f)](x)&=&h((g\circ f)(x))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}g\circ f{\rm {\,par\,}}h\\&&=&h(g(f(x)))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}f{\rm {\,par\,}}g\\&&=&(h\circ g)(f(x))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}g{\rm {\,par\,}}h\\&&=&[(h\circ g)\circ f](x)&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}f{\rm {\,par\,}}h\circ g\end{matrix}}$

Notation :

Cette application composée de f par g par h, se note simplement $h\circ g\circ f$.

Définitions :

Soit E un ensemble quelconque.

1. Soit f une application de ${\mathcal {A}}(E)$. Nous convenons de poser $f^{0}=\operatorname {Id} _{E}$.
2. Soient $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}$, n applications de ${\mathcal {A}}(E)$ ($n\in \mathbb {N} ^{*}$). La composée de $f_{1}$ par $f_{2}$, par ..., par $f_{n}$ notée $f_{n}\circ (f_{n-1}\circ \ldots \circ (f_{2}\circ f_{1})\;)$ se définit par récurrence et d'après la proposition précédente, les parenthèses sont inutiles, nous pouvons noter ce produit plus simplement $f_{n}\circ f_{n-1}\circ \ldots \circ f_{1}$.
3. Soient f une application de ${\mathcal {A}}(E)$, et $n\in \mathbb {N} ^{*}$. En particulier (pour $f_{1}=\ldots =f_{n}=f$), nous obtenons la composée de f par elle-même n fois qui se note $f^{n}$. Celle-ci vérifie
   ${\begin{matrix}f^{n}=f^{n-1}\circ f=&\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\&n{\rm {\,fois\,}}\end{matrix}}$

Exercice :

On considère l'application ${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&(x,y)&\mapsto &(y,x)\end{matrix}}$. Déterminer pour tout entier naturel n, fⁿ.

Applications injectives, surjectives, bijectives

Les types d'applications

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Définitions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.

• Nous disons que f est une application injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
  $\forall x,x'\in E,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$.
• Nous disons que f est une application surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
  $\forall y\in F,\exists x\in E,y=f(x)$.
• Nous disons que f est une application bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Notations :

Nous notons Inj(E, F), Surj(E, F), Bij(E, F) l'ensemble des injections, surjections, et bijections de E vers F.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F.

• f est dite injective si et seulement si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire
  $\forall x,x'\in E,x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')$
  (contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité.)
• f est injective si et seulement si tout élément y de F possède au plus un antécédent par f.
• f est injective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au plus une solution dans E.
• f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au moins une solution dans E.
• f est bijective si et seulement si tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
  $\forall y\in F,\exists !x\in E,y=f(x)$.
• f est bijective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet une unique solution dans E.

Propriétés immédiates :

• La composée de deux applications injectives est injective.
• La composée de deux applications surjectives est surjective.
• La composée de deux applications bijectives est bijective.

Proposition :

Soient E, F et G trois ensembles et des applications $f:E\rightarrow F$, $g:F\rightarrow G$.

• $g\circ f$ injective implique que f injective.
• $g\circ f$ surjective implique que g surjective.

Application réciproque d'une application bijective

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Définition (application réciproque d'une bijection) :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application bijective.

L'application de F dans E, qui à tout élément de l'ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f^-1 et s'appelle l'application réciproque de f.

Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une bijection. Alors l'application réciproque f^-1 de f vérifie

$\forall x\in E,\forall y\in F,x=f^{-1}(y)\Leftrightarrow y=f(x)$

De plus

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{E}$ et $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{F}$

L'application f^-1 est bijective et nous avons

$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ (l'application réciproque de f^-1 est f)

Démonstration :

...

Remarque :

L'application réciproque d'une application bijective étant aussi bijective, elle est aussi appelée bijection réciproque de f.

Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application de E dans F. Alors f est bijective si et seulement si il existe une application $g:F\rightarrow E$ telle que $g\circ f=\operatorname {id} _{E}$ et $f\circ g=\operatorname {id} _{F}$. Dans le cas où f est bijective, nous avons g=f^-1.

Définition (application involutive) :

Soient E un ensemble quelconque et f dans ${\mathcal {A}}(E)$. f est dite involutive si $f\circ f=\operatorname {id} _{E}$.

Remarque :

D'après le théorème précédent, f est bijective et nous avons $f^{-1}=f$. (f est sa propre bijection réciproque).

Exemples :

• L'application identité d'un ensemble quelconque est involutive.
• L'application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{*}\\x&\mapsto &{\frac {1}{x}}\end{matrix}}$ est involutive.
• L'application ${\begin{matrix}\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\x&\mapsto &{\overline {x}}\end{matrix}}$ est involutive.
• Soit E un ensemble quelconque et ${\mathcal {P}}(E)$ l'ensemble des parties de E. L'application ${\begin{matrix}{\mathcal {P}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {P}}(E)\\X&\mapsto &{\overline {X}}\end{matrix}}$ (${\overline {X}}$ étant le complémentaire de X dans E) est une involution de ${\mathcal {P}}(E)$.
  • L'application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{3}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{3}\\(x,y,z)&\mapsto &(y,x,z)\end{matrix}}$ est une involution de $\mathbb {R} ^{3}$.

Image directe, image réciproque d'une partie par une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.

Soit A une partie de E, nous appelons image directe de A par f l'ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments y de F tels qu'il existe un élément x de A tel que y=f(x). Cette image directe se note f(A), et nous avons

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$ ou $f(A)=\{y\in F\mid \exists x\in A,y=f(x)\}$.

Dans le cas particulier où A=E, l'ensemble f(E) est l'ensemble des images de tous les éléments de l'ensemble de définition de f, et s'appelle l'ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note im f ou im(f).

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.

• $f(\emptyset )=\emptyset$ (il n'y a pas d'image d'élément de l'ensemble vide puisque l'ensemble vide n'a pas d'élément)
• Soit x un élément de E. Si A={x}, alors f(A)={f(x)}.

Remarques :

• L'image directe d'une partie par une application est une partie de l'ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
• Il ne faut surtout pas confondre l'image directe d'une partie avec l'image d'un élément ou l'image d'une application.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.
f est surjective si et seulement si f(E)=F.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application. Soit B une partie de F, nous appelons image réciproque de la partie B par f, l'ensemble des x de l'ensemble de définition X tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l'ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note $f^{-1}(B)$ ou parfois (B). Nous avons donc

$f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$

Remarques :

• La notation utilisée pour désigner l'image réciproque d'une partie par une application est trompeuse puisque f^-1 peut faire penser à l'application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant $f^{-1}(Y)$, nous devons donc examiner si Y est une partie de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d'une image réciproque, ou si Y est un élément de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l'image par l'application réciproque $f^{-1}$ de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
• Si B se réduit à un seul élément b, alors l'ensemble :$f^{-1}(\{b\})$ s'écrit parfois $f^{-1}(b)$, mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.

• $f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$
• $f^{-1}(F)=E$, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
• Pour tout y de F, $f^{-1}(\{y\})$ est l'ensemble de tous les antécédents de y par f.
  Si f est bijective, alors $f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}$, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est $f^{-1}(y)$.

Propriétés :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application quelconque.

• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall A'\in {\mathcal {P}}(E),A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')$ (croissance de l'image directe)
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall A'\in {\mathcal {P}}(E),f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall A'\in {\mathcal {P}}(E),f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$
• $\forall B\in {\mathcal {P}}(F),\forall B'\in {\mathcal {P}}(F),B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$ (croissance de l'image réciproque)
• $\forall B\in {\mathcal {P}}(F),\forall B'\in {\mathcal {P}}(F),f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$
• $\forall B\in {\mathcal {P}}(F),\forall B'\in {\mathcal {P}}(F),f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$
• $\forall B\in {\mathcal {P}}(F),f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),A\subset f^{-1}(f(A))$
• $\forall B\in {\mathcal {P}}(F),f(f^{-1}(B))\subset B$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(F),A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B$

Propositions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application quelconque.

• $f{\rm {\,injective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall A'\in {\mathcal {P}}(E),f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')$
• $f{\rm {\,injective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in {\mathcal {P}}(E),A=f^{-1}(f(A))$
• $f{\rm {\,surjective\,}}\forall B\in {\mathcal {P}}(F),f(f^{-1}(B))=B$
• $f{\rm {\,bijective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in {\mathcal {P}}(E),f\left(\complement _{E}A\right)=\complement _{F}f(A)$

Familles

Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d'un ensemble I d'indices. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va permettre d'attribuer à des éléments de E plusieurs indices.

Définition :

Soient E et I deux ensembles. Nous appelons famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s'appelle ensemble des indices. Si $x:i\longmapsto x(i)$ est une famille, nous notons x_i l'image de i par x et $(x_{i})_{i\in I}$ cette famille.

Si I est une partie de $\mathbb {N}$, alors la famille est une suite.

Si I est un ensemble fini, alors la famille est dite finie.

Si E est remplacé par ${\mathcal {P}}(E)$, alors x est appelée une famille de parties de E.

Remarque :

Attention, une famille n'est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit A une partie de E, l'injection

${\begin{matrix}\iota :&A&\rightarrow &E\\&x&\mapsto &x\end{matrix}}$

est une famille indexée par A et se note généralement $(x)_{x\in A}$. Elle est appelée famille canoniquement associée à la partie A.

Opérations sur les familles

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de E.

• Nous appelons réunion de la famille $(A_{i})_{i\in I}$, l'ensemble $\left\{x\in E\mid \exists i\in I,x\in A_{i}\right\}$, noté $\bigcup _{i\in I}A_{i}$.
• Nous appelons intersection de la famille $(A_{i})_{i\in I}$, l'ensemble $\left\{x\in E\mid \forall i\in I,x\in A_{i}\right\}$, noté $\bigcap _{i\in I}A_{i}$.

Changement d'indice

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E, et soit $s:J\rightarrow I$ une application surjective de J sur I. Nous avons

1. $\bigcup _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcup _{i\in I}A_{i}$
2. $\bigcap _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcap _{i\in I}A_{i}$

Associativité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E, et soit $(J_{k})_{k\in K}$ une famille de parties non vides de I telle que la réunion soit égale à I. Nous avons alors

1. $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{k\in K}\bigcup _{i\in J_{k}}A_{i}$
2. $\bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{i\in J_{k}}A_{i}$

Distributivité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconques de parties de E et A une partie de E. Nous avons

1. $A\cap \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap A_{i})$
2. $A\cup \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}(A\cup A_{i})$

Distributivité généralisée

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, $(A_{i})_{i\in I}$ et $(B_{j})_{j\in J}$ deux familles quelconques de parties de E. Nous avons

1. $\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap _{(i,j)\in I\times J}(A_{i}\cup B_{j})$
2. $\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}(A_{i}\cap B_{j})$

Passage au complémentaire

Proposition (lois de Morgan):

Soient E un ensemble quelconque, $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconques de parties de E. Nous avons

1. $\complement _{E}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\complement _{E}A_{i}$
2. $\complement _{E}\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}\complement _{E}A_{i}$

Recouvrement, partition

Définition (recouvrement d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=E$.

Définition (partition d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille constitue une partition de E si les propositions suivantes sont vérifiées

1. aucune des parties $A_{i}$ n'est vide, c'est-à-dire $\forall i\in I,A_{i}\neq \emptyset$,
2. les parties $A_{i}$ sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire $\forall (i,j)\in I^{2},i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$,
3. la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire $\bigcup _{i\in I}A_{i}=E$.

Image directe et image réciproque

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques, f une application de E dans F, $(A_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E et $(B_{j})_{j\in J}$ une famille quelconque de parties de F. Nous avons

1. $f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$
2. $f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$
3. $f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup _{j\in J}f^{-1}(B_{j})$
4. $f^{-1}\left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap _{j\in J}f^{-1}(B_{j})$

Application caractéristique

Soient E et F deux ensembles quelconques. Soient f et g deux applications quelconques de E dans F. Dès lors que l'ensemble F est muni d'une addition ou d'une multiplication, il est possible de définir la somme des applications f et g, comme l'application de E dans F, qui à un élément x de E associe f(x)+g(x) et le produit des applications f et g, comme l'application de E dans F qui à un élément x de E associe, f(x).g(x).

Considérons l'ensemble {0, 1} et munissons cet ensemble d'une addition et d'une multiplication définies par

+	0	1
0	0	1
1	1	0

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Définition :

Nous convenons de poser -1=1 et -0=0.
Pour x dans {0, 1}, et pour tout entier relatif n, notons

${\begin{matrix}n.x&=&\underbrace {x+x+\ldots +x} \\&&|n|{\rm {\,fois\,}}\end{matrix}}$ (|n| désigne la valeur absolue de n)

Proposition :

Soit E un ensemble quelconque, f et g deux applications de ${\mathcal {A}}(E,\{0,1\})$ et n un entier relatif. Les applications f+g, f.g et n.f définies par

${\begin{matrix}f+g:&E&\rightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &f(x)+g(x)\end{matrix}}$

${\begin{matrix}f.g:&E&\rightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &f(x).g(x)\end{matrix}}$.

${\begin{matrix}n.f:&E&\rightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &n.f(x)\end{matrix}}$

appartiennent à ${\mathcal {A}}(E,\{0,1\})$.

Théorème :

Soit E un ensemble quelconque. L'application $\chi$ qui à une partie A de E associe l'application caractéristique de A est bijective de ${\mathcal {P}}(E)$ dans ${\mathcal {A}}(E,\{0,1\})$.

Corollaire :

Deux parties A et B de E sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.

Propriétés :

Soient A et B deux parties d'une ensemble quelconque E. Nous avons les égalités suivantes :

• $\chi _{\overline {A}}=1-\chi _{A}$
• $\chi _{A\cap B}=\chi _{A}\chi _{B}$
• $\chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\chi _{B}$
• $\chi _{A\backslash B}=\chi _{A}(1-\chi _{B})$
• Si les parties A et B sont disjointes alors $\chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}$
• $\chi _{A\Delta B}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\chi _{B}=(\chi _{A}-\chi _{B})^{2}$

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