Algèbre/Nombres entiers naturels

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Sections 1 Introduction 2 Les Axiomes de Peano 3 Quelques conséquences 4 Conclusion

[modifier] Introduction

Un nombre entier naturel est un nombre positif (supérieur ou égal à 0) et sans virgule (qui se forme par addition d'unités) par exemple 1, 12 ou 65536.

[modifier] Les Axiomes de Peano

Leur ensemble est l'ensemble et est défini par les axiomes de Peano:

1. L'ensemble possède un plus petit élément que l'on note 0 et est infini.
2. Chaque élément n possède un successeur que l'on notera S(n) ou n+ et 0 n'est le successeur d'aucun élément.
3. Si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux.
4. Tout sous-ensemble de contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est confondu avec . (Axiome de récurrence)

[modifier] Quelques conséquences

• À partir de ces axiomes, nous pouvons démontrer le théorème de récurrence.
• Nous pouvons définir 1 comme le successeur de 0.
• Nous pouvons définir l'addition par les deux axiomes suivants :

1. 
2. 
3. on montre :

• Nous pouvons définir la multiplication par les deux axiomes suivants :

1. 
2. 

[modifier] Conclusion

Ces axiomes permettent de démontrer, et non plus d'admettre, toutes les propriétés des deux opérations de base. Ainsi il est très facile, voire amusant, de démontrer par des récurrences pour :

• l'addition:
  • La commutativité
  • L'associativité.
  • La neutralité de 0
• la multiplication:
  • La commutativité
  • L'associativité
  • La distributivité
  • La neutralité de 1