Algèbre/Nombres entiers relatifs

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[modifier] Introduction

Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou négatif (qui se forme par addition d'unités) L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$ .

[modifier] $\mathbb{Z}$ , un ensemble

$\mathbb{Z}$ est en bijection avec $\mathbb{N}$ , il est donc infini dénombrable. Une telle bijection est par exemple : $\begin{matrix}\mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ n & \longmapsto & \left\{\begin{matrix} 2n & \mbox{si } n\geq0 \\ -2n-1 & \mbox{si } n<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}$

[modifier] $\mathbb{Z}$ , un anneau

$\mathbb{Z}$ est un anneau commutatif ( $a + b = b + a$ ) pour les lois $+$ et $*$ . Contrairement à $\mathbb{N}$ , tout élément possède un inverse pour l'addition (ici, on parle plutôt d'opposé), mais les seuls éléments inversibles pour la multiplications sont 1 et -1.

Tout ses idéaux sont de la forme $n\mathbb{Z}$ (cela vient du fait qu'il existe une division euclidienne), ce qui lui confère la dignité d'anneau principal

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