Algèbre/Polynômes
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Un polynôme du second degré s'écrit sous la forme :
ax2 + bx + c
avec a non nul.
[modifier] I. Forme canonique d'un polynôme du second degré.
La forme canonique d'un polynôme du second degré est une factorisation de ax2 + bx + c en fonction des zéros de celui-ci. Ceux-ci pouvant être des nombres complexes, dans R la solution n'existe pas toujours.
Elle s'écrit :
![a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/2/8/6/286246aa470dadf734fd5dfef549b89a.png)
ou
![a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/f/a/d/fad997fd67e54e058e97b36431df1023.png)
Pour résoudre une équation polynomiale du second degré :
- Si Δ < 0, alors S n'admet aucune solution : 
.
- Si Δ = 0, alors S n'admet qu'une solution : 
L'expression ax2 + bx + c se factorise ainsi : a(x − x0)2
- Si Δ > 0, alors l'équation admet 2 solutions :
avec Δ = b2 − 4ac .
L'expression ax2 + bx + c se factorise ainsi : a(x − x1)(x − x2) .
Pour résoudre une équation, il faut donc trouver Δ .
Exercice :
Résoudre : x2 + 4x − 12 = 0
ici, a = 1 b = 4 et c = − 12
Δ = b2 − 4ac = 42 − 4 * 1 * ( − 12) = 16 − 4 * ( − 12) = 16 + 48 = 64 = 82
Δ > 0, donc S admet 2 solutions :
L'expression se factorise donc ainsi :
a(x − x1)(x − x2) = 1(x − ( − 6)(x − 2) = (x + 6)(x − 2) = 0
S = { − 6;2}
