Algèbre/Relations

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[modifier] Relations

Définitions . Soit $E$ un ensemble. Une relation sur $E$ est une partie $R$ de $E 2$ . Si $(x,y)\in R$ , on écrit $x R y$ , et on dit que $x$ et $y$ sont en relation par $R$ . Une relation est :

réflexive si $\forall x \in E, xRx$
symétrique si $(\forall x,y \in E, xRy)\Rightarrow(yRx),$
transitive si $(\forall x,y,z\in E, (xRy\, \wedge \, yRz))\Rightarrow (xRz).$
antisymétrique si $(\forall x,y\in E, (xRy\, \wedge\, yRx))\Rightarrow (x=y).$

[modifier] Relation d'équivalence

Définition Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique.

Exemples

Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites du plan.
- Demonstration :

Reflexive : Toute droite du plan est parallèle à elle même (on notera //).
Transitive : Soient $A, B, C$ trois droites. Si $A$ // $B$ et $B$ // $C$ alors $A$ // $C$ .
Symétrique : Soient $A, B$ deux droites si $A$ // $B$ alors $B$ // $A$

Si $H$ est un sous groupe de $G$ alors si pour $a,b\in G$ , on écrit $(aRb) \, \textrm{ssi}\, (b^{-1}a\in H)$ alors $R$ est une relation d'équivalence sur $G$ .

Définition Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence $R$ . Soit $x$ dans $E$ , on appelle classe d'équivalence de $x$ selon $R$ et on note $C R (x)$ (ou bien $C (x)$ ou $\bar{x}$ si il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de $E$ $R$ -équivalent à $x$ ,i.e. $C_R(x)=\{y\in E; xRy\}$ . On dit classe selon $R$ , ou classe sous $R$ ou classe modulo $R$ .

[modifier] Relation d'ordre

Définition

Une relation d'ordre (ou un ordre) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.
Si $R$ est une relation d'ordre sur $E$ , et si $x$ et $y$ sont des éléments de $E$ , on dit que $x$ et $y$ sont comparables si $x R y$ ou $y R x$ .
Si $R$ est une relation d'ordre sur $E$ , on dit que $R$ est une relation d'ordre complet si deux éléments quelconques de $E$ sont comparables sous $R$ . Sinon, on parle de relation d'ordre partiel.

Exemples

L'ordre usuel $(\leq)$ sur $\mathbb{N}$ , sur $\mathbb{Z}$ , sur $\mathbb{Q}$ ou sur $\mathbb{R}$ sont des relations d'ordre.

Démonstration (Sur $\mathbb{R}$ ):

Réflexive : $\forall x\in \mathbb{R}$ on a $x \leq x$
Transitive : Soient $x,y,z\in \mathbb{R}$ tels que $x \leq y$ et $y \leq z$ alors $x \leq z$
Antisymétrique : Soient $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x \leq y$ alors $-y \leq -x$

Si E est un ensemble, la relation $\subset$ (inclusion) définie sur P(E) (l'ensemble des parties de E) est une relation d'ordre.

Démonstration :

Réflexive : Soit E un ensemble. On a $E \subset E$ (on a bien $E \in P(E)$ )
Transitive : Soient $A,B,C \subset E$ tels que $A \subset B$ et $B \subset C$ alors $A \subset C$
Antisymétrique : Soient $A,B \subset E$ tels que $A \subset B$ alors $\overline{B} \subset \overline{A}$