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Sections 1 Théorie des groupes 1.1 Définitions et propriétés 1.1.1 Groupe 1.1.2 Sous groupe 1.1.3 Ordre d'un élément 1.1.4 Sous groupe engendré 1.1.5 Théorème de Lagrange 1.1.6 Sous groupe normal, groupe quotient 1.1.6.1 Définition 1.1.7 Homomorphismes 1.1.7.1 Définition 1.1.7.2 Propriétés et remarques 1.1.7.3 Exemple 1.2 Théorèmes de Sylow 1.2.1 P-group

Théorie des groupes

Définitions et propriétés

Groupe

Un groupe est la donnée d'un ensemble G et d'une fonction de dans G (noté ) vérifiant :

• il existe un élément e appelé élément neutre tel que
• tout élément est inversible : tel que . Cet élément est appelé inverse de a et sera noté a ^{− 1}
• la loi est associative :

Si le cardinal de G est fini, on appelle ordre du groupe le nombre de ses éléments. Un groupe sera dit abelien ou commutatif, si vérifie : .

Exemples:

• est un groupe abelien pour l'addition, mais pas pour la multiplication. n'est pas un groupe pour l'addition.
• l'ensemble des rotations qui laissent un carré globalement invariant est un groupe d'ordre 4.
• l'ensemble des permutations de l'ensemble est un groupe.

Sous groupe

Un sous groupe A d'un groupe G est un ensemble qui vérifie :

• 
• A est un groupe au sens de la loi de G

2 sous groupes H et H' sont dit conjugués s'il existe x tel que , ce qu'on note aussi H' = x ^{− 1}Hx.

Ordre d'un élément

Soit a un élément d'un groupe G et n un enier naturel. On appelle "a puissance n et on note aⁿ l'élément de G défini par :

• a⁰ = e
• si n > 0, (a multiplié n fois par lui-même.

Si il existe un entier non nul tel que a^k = e, a est dit d'ordre fini. Il est dit d'ordre infini dans le cas contraire. Si a est d'ordre fini, on appelle ordre de a le plus petit entier strictement positif k tel que a^k = e

Sous groupe engendré

Soit G et A une partie de G. On appelle sous groupe engendré par A le plus petit sous groupe H de G contenant A. On dit aussi que A est un générateur de H. On peut voir H comme l'ensemble des produits finis des éléments de A et de leurs inverses.

Un groupe engendré par un seul élément est dit monogène. Un groupe monogène fini est dit cyclique. On remarque que si G est un groupe cyclique d'ordre n, alors tout élément de G peut s'ecrire sous la forme où a est un générateur de G. On remarque ainsi que tout générateur de G est d'ordre n.

Théorème de Lagrange

Le théorème de Lagrange est un Théorème fondamental de la théorie des groupes :

Soit G un groupe fini, et H un sous groupe de G. L'ordre de H divise l'ordre de G.

Corollaire 1 : Soit a un élément de G, l'ordre de a divise l'ordre de G.

Preuve : Soit A le groupe engendré par a. On sait que l'ordre de a est égal à l'ordre de A, et que l'ordre de A divise l'ordre de G. Donc l'ordre de a divise l'ordre de G.

Corollaire 2 : Un groupe d'ordre premier est cyclique.

Preuve : Soit G un groupe d'ordre p, p premier. On sait que le seul élément d'ordre 1 est l'élément neutre e. Donc tout élément de G distinct de e est égal à p (puisque les suls diviseurs de p sont 1 et p). Donc tout élément distinct de e engendre G, donc G est cyclique.

Sous groupe normal, groupe quotient

Définition

Soit G un groupe et H un sous groupe de G. On dira que H est un sous groupe normal ou distingué, si et seulement si :

En reprenant la définition de sous groupe conjugués vue plus haut, on dira aussi qu'un sous groupe normal est stable par conjuguaison.

Soit H un sous groupe de G, et , la classe a gauche est définie par . De même, nous définissons la classe à droite . On vérifie facilement que H est normal si et seulement si . C'est cette dernière propriété qui fait que les groupes distingués sont si important : en effet, cela va nous permettre de munir l'ensemble des classes à gauche (ou à droite, puisque dans ce cas précis elles sont égales) de H d'une structure de groupe analogue a celle de G, avec la loi :

Le groupe ainsi formé s'appelle le groupe quotient de G par H et sera noté G / H. On remarque que les classes a gauche sont exactement les classes d'équivalences pour la relation définie par : g₁ ~ g₂ ssi .

====Exemple==== Soit l'ensemble des multiples de 3 muni de l'addition. est un sous groupe distingué dans , et le groupe quotient est égale à muni de l'addition modulo 3.

En fait, d'une manière générale, est un groupe pour l'addition modulo n (n> 0), d'ordre n et cyclique engendré par 1. Ce sont des groupes très utiles comme nous le verrons plus loin.

Homomorphismes

Définition

Soit et 2 groupes. Un homomorphisme de G vers H est une application de G dans H vérifiant :

Intuitivement, c'est donc une application qui "respecte" la structure de groupe.

Soient : G,G' deux groupes, H un sous groupe de G, f un homomorphisme.

f sera dit :

• injectif si
• surjectif si
• bijectif s'il est injectif et surjectif.

Un homomorphisme bijectif s'appelle aussi un isomorphisme. Un isomorphisme de G dans lui-même s'appelle un automorphisme. S'il existe un isomorphisme entre G et G', ces 2 groupes seront dit isomorphes. Cette notion est très importante : on vérifie facilement que le fait d'être isomorphe est une relation d'équivalence. En fait, 2 groupes isomorphes ont même cardinal, les ordres de leurs éléments sont les mêmes, et les propriétés qui vont suivre nous permettront de vérifier que leurs sous groupes, leurs sous groupes distingués, bref toute leurs propriétés intéressante du point de vue de la théorie des groupes sont les mêmes. C'est pourquoi, en toute circonstance, on pourra considérer que ces groupes sont identiques, et on étudiera indifféremment l'un ou l'autre suivant ce qui est le plus facile. Cela permet également de démontrer des résultats pour tout une famille de groupes, indépendamment de leur contenu, uniquement à partir de quelques propriétés "abstraites".

Propriétés et remarques

• L'application de G dans G / H, qui à x associe xH est un homomorphisme dit "canonique".
• f(G) est un sous groupe de G'
• f(H) est un sous groupe de G'
• Si H est distingué, f(H) est distingué dans f(G)
• le noyau de f, défini par , est un sous groupe distingué de G. Cette propriété est intéressante pou construire un isomorphisme : en effet, si f est un homomorphisme de G vers G', la restriction de f de vers f(G) est un ismorphisme.

Exemple

Voici un lemme intéressant qui montre la puissance de l'étude des groupes "à isomorphisme près" :

Lemme : Soit G un groupe cyclique d'ordre n. Alors G est isomorphe à .

Preuve : Comme G est cyclique, par définition il existe tel que . Soit f définie par . on vérfie facilement que c'est un homomorphisme :

• 
• 

Puis : donc f est injective. Or, G et ont même cardinal, donc f est aussi surjective. Donc f est un isomoprhisme.

Corollaire 1 : 2 groupes cycliques de même cardinal sont isomorphes entre eux.

Corollaire 2 : Soit p un nombre premier. Il n'existe qu'un seul groupe d'ordre p à isomoprhisme près.

Théorèmes de Sylow

P-group