Analyse/Dérivation

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Sections 1 Définition 2 Interprétation 2.1 Interprétation géométrique 2.2 Interprétation mécanique 2.3 Interprétation chimique 3 Continuité et Dérivabilité 4 Calcul des dérivées 5 Dérivées des fonctions réciproques 6 Différentielle 7 Utilisations 7.1 Dérivée première et variations 7.2 Dérivée seconde et convexité 8 Les théoremes fondamentaux

[modifier] Définition

Dérivée

Soit une fonction f, à valeurs dans , définie sur un voisinage de x₀. On note Δx = x − x_o la variation autour du point x_o et Δf = f(x) − f(x_o) la variation correspondante de la fonction f.

Définition 1

On dit qu'une fonction f est dérivable en x₀ si la limite

existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de f en x₀ et on la note .

Définition 2

On dit que f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I et on note la fonction dérivée . La dérivée de , si elle existe, est notée , et par récurrence, on définit la dérivée nième de f, notée f⁽ⁿ⁾.

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de f, notée fⁿ, avec la dérivée nième notée f⁽ⁿ⁾.

La définition suivante est souvent utile:

Définition 3

On dit que f est n fois dérivable sur un intervalle I si elle est n fois dérivable en tout point de I; on dit que
si

sont continues sur I.

Donc signifie simplement que f est continue sur I. On peut aussi parler de la classe , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne avec .

[modifier] Interprétation

[modifier] Interprétation géométrique

Si f est à valeurs réelles et si le nombre existe, il est est égal à la pente de la tangente à f(x) au point x₀. L'équation cartésienne de la droite tangente à f(x) en x₀ s'écrit . A noter que si la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation x = x₀.

[modifier] Interprétation mécanique

Soit x(t) l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe Ox en fonction du temps t. La limite est notée et la fonction dérivée est la vitesse du point, à l'instant t, selon l'axe Ox. L'accélération à l'instant t, selon ce même axe, est la dérivée seconde . La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

,

où m est la masse de la particule considérée et F_x la composante, selon l'axe Ox, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de . On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces F_x assez simples.

[modifier] Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient N(t) atomes à l'instant N(t). La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée λ (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée et le taux de variation est . On a donc pour loi de variation temporelle:

.

On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si N₀ est le nombre d'atomes initial à t = 0, au temps t il n'en restera plus que N(t) = N₀e ^{− λt}.

[modifier] Continuité et Dérivabilité

Théorème

Toute fonction f dérivable en x₀ est continue en ce point.

Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction est continue en x = 0, mais elle n'est pas dérivable en x = 0. Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

[modifier] Calcul des dérivées

[modifier] Dérivées des fonctions réciproques

[modifier] Différentielle

[modifier] Utilisations

[modifier] Dérivée première et variations

[modifier] Dérivée seconde et convexité

[modifier] Les théoremes fondamentaux