Analyse/Equation différentielle

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[modifier] Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x.

Exemple :
$y' + y = 0\,$ .
$y' - 2xy = -3\,$ .

[modifier] Équation différentielle du premier ordre

[modifier] Définition

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.

Exemple :
$y' + 2y = 0\,$ .

[modifier] Équation différentielle linéaire du premier ordre

[modifier] Définition

Toute équation différentielle du premier ordre qui peut se mettre sous la forme :
A(x)y' + B(x)y = C(x) (ici avec second membre) ou
A(x)y' + B(x)y = 0 (ici sans second membre)
est une équation linéaire.

Exemple :
$4y' + 2y = 3x + 1\,$ .
$y' + cos(y) = 0\,$ . n'est pas une équation linéaire.
(voir Équation linéaire)

[modifier] Résolution

[modifier] Équation sans second membre

$xy' - y = 0\,$
$xy' = y\,$
$y'/y = 1/x\,$
$ln|y| = ln|x| + k\,$
$y(x) = exp(ln|x| + k)\,$
$y(x) = Kx \,$ (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec $K=exp(k) \,$

[modifier] Exercices

Résoudre $xy' + 2y = 0\,$

Solution

$xy' + 2y = 0\,$
$xy' = -2y\,$
$y'/y = -2/x\,$
$ln(y(x)) = -2ln x + k\,$
$y(x) = exp(-2ln(x))exp(k)\,$
$y(x) = Kx^{-2} = K/x^2 \,$

[modifier] Équation avec second membre

$(x+1)y'+2y = 1/(x+2)\,$ (que l'on nomme (1))

On y associe une équation sans second membre : $(x+1)y' + 2y = 0\,$ (que l'on nomme (0))
La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).

$(x+1)y' + 2y = 0\,$
$(x+1)y' = -2y\,$
$y'/y = -2/(x+1)\,$
$ln(y) = -2ln(x+1) + k\,$
$y(x) = exp(-2ln(x+1))exp(k)\,$
$y(x) = K \times 1/(x+1)^2\,$

On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. $K \Rightarrow K(x)$ . Ainsi $y(x) = K(x)\times 1/(x+1)^2\,$ et $y'(x) = K'(x)\times 1/(x+1)^2 + K(x)\times (-2/(x+1)^3)\,$ .
On insère dans (1).
$(x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^2 + K(x)\times (-2/(x+1)^3)] + 2K(x)\times 1/(x+1)^2 = 1/(x+2)\,$
$K'(x)\times 1(x+1) = 1/(x+2)\,$
$K'(x) = (x+1)/(x+2)\,$
or $(x+1) = (x+2) - 1\,$
ainsi $K'(x) = (x+2)/(x+2) - 1/(x+2)\,$
$K(x) = x - ln(x+2) + k\,$
La solution particulière de (1) est $Yp(x) = (x - ln(x+2))/(x+1)^2\,$ et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit $Y(x) = K/(x+1)^2 + (x-ln(x+2))/(x+1)^2\,$

[modifier] Résolution

On divise par $y^n\,$
$A(x)y'y^{-n} + B(x)y^{1-n} = C(x)\,$
On pose $z(x) = y^{1-n}\,$
Ainsi $z'(x) = (1-n)y^{-n}y'\,$
On obtient $(A(x)z'(x))/(1-n) + B(z)z(x) = C(x) \,$ que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction $y(x) = (z(x))^(1/(1-n))\,$ .

Exemple : $xy' + y = y^3\,$ (ici y_n = y₃).

On divise par y₃. Ainsi $x \times y'/y^3 + y/y^{3} = 1\,$ ou $xy'y^{-3} + y^{-2} = 1\,$ .
On pose $z(x) = y^{-2}\,$ et $z'(x) = -2y^{-3}y'\,$ et on effectue le changement $x/-2 \times z'(x) + z(x) = 1\,$
On résoud l'équation sans second membre : $x/-2 \times z'(x) + z(x) = 0\,$
$z'(x) = 2/x \times z(x)\,$
$z'(x)/z(x) = 2/x\,$
$ln(z(x)) = 2ln(x) + k\,$
$z(x) = exp(ln(x^2) + k)= Kexp(x^2)\,$ avec $K = exp(k)\,$
On fait varier la constante K, $K \Rightarrow K(x)\,$
$z(x) = K(x) \times x^2$ et $z'(x) = K'(x)x^2 + 2K(x)\,$
On insère dans (1): $x/-2[K'(x)x^2 +2K(x)x] + K(x)x^2 = 1\,$
$-1/2 \times K'(x)x^3 - K(x)x^2 + K(x)x^2 = 1\,$
$K'(x) = - 2 x - 3$
$K(x) = x^{-2} + C\,$
Ainsi $z(x) = (-2x^{-2} + 2)x^2\,$
$z(x) = 1 + Cx^2\,$
$z(x) = 1/y^2 \Rightarrow y^2 = 1/z = 1/(1 + Cx^2)\,$
Si $1 + Cx^2 > 0\,$ alors $y(x) = \pm 1/\sqrt{1 + Cx^2}\,$