La dérivation est une opération mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.
Soit c un réel.
Considérons la fonction constante f de valeur c :
∀
x
∈
R
,
∀
h
∈
R
∗
,
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
c
−
c
h
=
0
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {c-c}{h}}=0}
donc
∀
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
0
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=0}
Ainsi la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle .
Démonstration :
Soit la fonction f:
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}\,}
I
{\displaystyle {I}\,}
h
≠
0
{\displaystyle h\not =0}
∀
a
∈
I
,
∀
(
a
+
h
)
∈
I
{\displaystyle \forall a\in {I},\forall {(a+h)}\in {I}\,}
t
(
h
)
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
{\displaystyle t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
t
(
h
)
=
(
a
+
h
)
n
−
a
n
h
{\displaystyle t(h)={\frac {(a+h)^{n}-a^{n}}{h}}}
t
(
h
)
=
(
a
n
+
n
a
n
−
1
h
+
p
3
a
n
−
2
h
2
+
p
4
a
n
−
3
h
3
.
.
.
p
n
a
h
n
−
1
+
p
n
+
1
h
n
)
−
a
n
h
{\displaystyle t(h)={\frac {(a^{n}+na^{n-1}h+p_{3}a^{n-2}h^{2}+p_{4}a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^{n}}{h}}}
Où les coefficients
p
i
{\displaystyle p_{i}}
triangle de Pascal (
p
1
=
1
{\displaystyle p_{1}=1}
p
2
=
n
{\displaystyle p_{2}=n}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
h
{\displaystyle h}
t
(
h
)
=
n
a
n
−
1
+
p
3
a
n
−
2
h
+
p
4
a
n
−
3
h
2
.
.
.
p
n
a
h
n
−
2
+
p
n
+
1
h
n
−
1
{\displaystyle t(h)=na^{n-1}+p_{3}a^{n-2}h+p_{4}a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,}
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
t
(
h
)
=
n
a
n
−
1
{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}t(h)=na^{n-1}}
n
<
2
{\displaystyle n<2}
Considérons la fonction f définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∀
x
∈
R
,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}}
∀
x
∈
R
,
∀
h
∈
R
∗
,
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
(
x
+
h
)
2
−
x
2
h
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}
=
x
2
+
2
h
x
+
h
2
−
x
2
h
=
2
h
x
+
h
2
h
=
2
x
+
h
{\displaystyle ={\frac {x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h}}={\frac {2hx+h^{2}}{h}}=2x+h}
donc
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
(
2
x
+
h
)
=
2
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}
la dérivée de f est donc la fonction f ’ définie par
∀
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=2x}
Considérons la fonction f =√x
∀
x
∈
R
+
∗
,
∀
h
∈
R
∗
,
h
>
−
x
,
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
x
+
h
−
x
h
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}
=
(
x
+
h
−
x
)
(
x
+
h
+
x
)
h
(
x
+
h
+
x
)
{\displaystyle ={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}
=
x
+
h
−
x
h
(
x
+
h
+
x
)
=
1
x
+
h
+
x
{\displaystyle ={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}
donc
∀
x
∈
R
+
∗
,
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
1
x
+
h
+
x
=
1
2
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
D’autre part,
∀
h
∈
R
+
∗
,
f
(
h
)
−
f
(
0
)
h
=
h
h
=
1
h
{\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}}
lim
h
→
0
f
(
h
)
−
f
(
0
)
h
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=+\infty }
donc f n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.
Voici une série d'exemples de dérivées calculées à partir des formules établies par la méthode avec la limite.
Considérons les fonctions suivantes et puis dérivons-les par la suite :
1.
y
=
x
2
+
5
x
−
3
{\displaystyle y=x^{2}+5x-3\,}
2.
y
=
3
x
2
−
9
x
+
2
3
{\displaystyle y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,}
3.
y
=
−
4
x
2
+
4
7
x
−
1
{\displaystyle y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,}
Dérivées :
1.
y
=
x
2
+
5
x
−
3
{\displaystyle y=x^{2}+5x-3\,}
y
′
=
(
x
2
)
′
+
(
5
x
)
′
−
(
3
)
′
{\displaystyle y'=(x^{2})'+(5x)'-(3)'\,}
y
′
=
2
x
+
5
+
0
{\displaystyle y'=2x+5+0\,}
y
′
=
2
x
+
5
{\displaystyle y'=2x+5\,}
2.
y
=
3
x
2
−
9
x
+
2
3
{\displaystyle y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,}
y
′
=
(
3
x
2
)
′
−
(
9
x
)
′
+
(
2
3
)
′
{\displaystyle y'=(3x^{2})'-(9x)'+({\frac {2}{3}})'\,}
y
′
=
6
x
−
9
+
0
{\displaystyle y'=6x-9+0\,}
y
′
=
6
x
−
9
{\displaystyle y'=6x-9\,}
3.
y
=
−
4
x
2
+
4
7
x
−
1
{\displaystyle y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,}
y
′
=
(
−
4
x
2
)
′
+
(
4
7
x
)
′
−
(
1
)
′
{\displaystyle y'=(-4x^{2})'+({\frac {4}{7}}x)'-(1)'\,}
y
′
=
−
8
x
+
4
7
−
0
{\displaystyle y'=-8x+{\frac {4}{7}}-0\,}
y
′
=
−
8
x
+
4
7
{\displaystyle y'=-8x+{\frac {4}{7}}\,}
Considérons les fonctions suivantes et dérivons-les par la suite :
1.
y
=
2
x
3
+
6
x
2
−
4
x
+
9
π
{\displaystyle y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,}
2.
y
=
−
x
3
−
5
x
2
+
2
3
x
−
1
{\displaystyle y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,}
3.
y
=
5
17
x
3
+
x
2
−
2
x
+
e
{\displaystyle y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,}
Dérivées :
1.
y
=
2
x
3
+
6
x
2
−
4
x
+
9
π
{\displaystyle y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,}
y
′
=
(
2
x
3
)
′
+
(
6
x
2
)
′
−
(
4
x
)
′
+
(
9
π
)
′
{\displaystyle y'=(2x^{3})'+(6x^{2})'-(4x)'+\left({\frac {9}{\pi }}\right)'\,}
y
′
=
6
x
2
+
12
x
−
4
+
0
{\displaystyle y'=6x^{2}+12x-4+0\,}
y
′
=
2
(
3
x
2
+
6
x
−
2
)
{\displaystyle y'=2(3x^{2}+6x-2)\,}
2.
y
=
−
x
3
−
5
x
2
+
2
3
x
−
1
{\displaystyle y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,}
y
′
=
−
(
x
3
)
′
−
(
5
x
2
)
′
+
(
2
3
x
)
′
−
(
1
)
′
{\displaystyle y'=-(x^{3})'-(5x^{2})'+\left({\frac {2}{3}}x\right)'-(1)'\,}
y
′
=
−
3
x
2
−
10
x
+
2
3
−
0
{\displaystyle y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}-0\,}
y
′
=
−
3
x
2
−
10
x
+
2
3
{\displaystyle y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}\,}
3.
y
=
5
17
x
3
+
x
2
−
2
x
+
e
{\displaystyle y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,}
y
′
=
(
5
17
x
3
)
′
+
(
x
2
)
′
−
(
2
x
)
′
+
(
e
)
′
{\displaystyle y'=\left({\frac {5}{17}}x^{3}\right)'+(x^{2})'-(2x)'+(e)'\,}
y
′
=
5
×
3
x
2
17
+
2
x
−
2
+
0
{\displaystyle y'={\frac {5\times 3x^{2}}{17}}+2x-2+0\,}
y
′
=
15
x
2
17
+
2
x
−
2
{\displaystyle y'={\frac {15x^{2}}{17}}+2x-2\,}
Soit la fonction puissance y :
y
(
x
)
=
a
x
b
a
≠
0
,
b
∈
R
{\displaystyle y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R} }
Alors, la dérivée n -ième de y est donnée, sur des intervalles convenables, par :
∀
n
∈
N
∗
:
y
(
n
)
(
x
)
=
a
∏
k
=
0
n
−
1
(
b
−
k
)
⋅
x
b
−
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}}
Un homme s'éloigne à raison de 2,22 m/s d'une tour de 60 m de hauteur.
À quelle vitesse s'éloigne t-il du sommet de cette tour lorsqu'il est à 80 m du pied de la tour? Ou de manière plus générale : quelle est la fonction de la vitesse de l'éloignement de cette personne par rapport au sommet de cette tour.
La relation de Pythagore exprime la distance entre le piéton et le sommet de la tour soit
y
=
x
2
+
60
2
{\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+60^{2}}}}
y distance du piéton au sommet de la tour et x distance du piéton au pied de celle-ci. Le terme
x
{\displaystyle x}
d
(
t
)
=
v
t
{\displaystyle d(t)=vt}
y
(
t
)
=
d
(
t
)
2
+
60
2
{\displaystyle y(t)={\sqrt {d(t)^{2}+60^{2}}}}
La vitesse par rapport au sommet de la tour peut s'exprimer de cette façon à l'instant
t
0
{\displaystyle t_{0}}
v
(
t
0
)
=
y
(
t
0
+
1
)
−
y
(
t
0
)
t
0
+
1
−
t
0
{\displaystyle v(t_{0})={\frac {y(t_{0+1})-y(t_{0})}{t_{0+1}-t_{0}}}}
t
0
+
1
→
t
0
{\displaystyle t_{0+1}\rightarrow t_{0}}
Alors nous nous apercevons que c'est la définition de la dérivée (Voir définition formelle de la dérivée ).
Cette vitesse peut être exprimée maintenant comme
v
(
t
)
=
d
d
t
y
(
t
)
{\displaystyle v(t)={d \over dt}y(t)}
Nous obtenons alors
v
(
t
)
=
1
2
(
60
2
+
d
(
t
)
2
)
−
1
2
(
d
(
t
)
2
)
′
{\displaystyle v(t)={\frac {1}{2}}(60^{2}+d(t)^{2})^{-{\frac {1}{2}}}(d(t)^{2})'}
v
(
t
)
=
d
(
t
)
′
d
(
t
)
60
2
+
d
(
t
)
2
{\displaystyle v(t)={\frac {d(t)'d(t)}{\sqrt {60^{2}+d(t)^{2}}}}}
Après substitution de
d
(
t
)
{\displaystyle d(t)}
v
(
t
)
=
v
2
t
60
2
+
v
2
t
2
{\displaystyle v(t)={\frac {v^{2}t}{\sqrt {60^{2}+v^{2}t^{2}}}}}
vitesse mesuré du sommet de la tour d'homme s'éloignant à 2,22 m/s et distance depuis le sommet de la tour
La courbe en rouge est la représentation de:
v
(
t
)
=
v
2
t
60
2
+
v
2
t
2
{\displaystyle v(t)={\frac {v^{2}t}{\sqrt {60^{2}+v^{2}t^{2}}}}}
La courbe en bleu est la représentation de:
y
(
t
)
=
d
(
t
)
2
+
60
2
{\displaystyle y(t)={\sqrt {d(t)^{2}+60^{2}}}}
Lorsque le piéton est à 80 m du pied de la tour :
Le temps nécessaire pour parcourir les 80 m de la tour est:
t
=
80
/
2.22
{\displaystyle t=80/2.22}
v
(
80
/
2.22
)
=
1.776
m
/
s
{\displaystyle v(80/2.22)=1.776m/s}
