Analyse/Fonctions
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[modifier] Présentation
[modifier] Définitions
[modifier] Définitions de base
Soient E et F deux ensembles.
On appelle graphe de E vers F toutes parties de 
. On appelle correspondance de E vers F le triplet (Γ,E,F), où Γ est un graphe de E vers F, E l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée.
On nomme ensemble de définition de la correspondance l'ensemble : 
Cet ensemble est vide si, et seulement si, Γ est vide.
On appelle graphe fonctionnel de E vers F, tout graphe Γ de E vers F, vérifiant la relation suivante : 
On appelle application, ou fonction, de E vers F, toute correspondance de E vers F dont le graphe est un graphe fonctionnel et dont E est le domaine de définition
On écrira par convention : 
. L'ensemble f(E) est appelé image de f, noté également Imf. ATTENTION : il ne faut pas confondre f(x) qui est un élément de F, et f élément de
[modifier] Application composée
Soit E,F,F des ensembles et , 
. On appelle composée des applications g et f, et on note 
, l'application 
, telle que h(x) = g(f(x)) pour tout 
. La composition est associative d'où : 
. On note alors 
[modifier] Caractéristiques
Soit une application.
- 1) f est injective si et seulement si
- 2) f est surjective si et seulement si
- 3) f est bijective si 1) et 2) sont vérifié
On parle éventuellement de permutation de E pour une bijection lorsque l'ensemble est fini.
