Analyse/Séries
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[modifier] Introduction
- définition
- On appelle série de terme général un la suite (Sn) définie par :
où ui est une suite de nombres réels. - On dit qu'une série converge si la suite (Sn) admet une limite S.
- Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.
[modifier] Exemples
un = ( - 1)n
Sn = 1 + - 1 + 1 + - 1 + ... + ( - 1)n
Pour n pair, Sn vaut 0, pour n impair, Sn vaut 1.
La série Σ( - 1)n est donc divergente.
[modifier] Convergence
[modifier] Condition nécessaire
Si une série de terme général un converge, alors un a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.
C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : un = 1 / n.
En effet Sn = 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n et S2n = 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n + ... + 1 / 2n.
D'où S2n - Sn = 1 / (n + 1) + 1 / (n + 2) + ... + 1 / 2n > n / 2n et S2n - Sn > 1 / 2
Supposons que la série converge, alors Sn et S2n admenttent une même limite S et S2n - Sn = 0 lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec S2n - Sn > 1 / 2, donc la série diverge.
