Analyse/Suites

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1 Définition : suite numérique
2 Convergence et Limite
3 Adhérence
4 Suites particulières
- 4.1 Suites de Cauchy
5 Exercices
6 Pour continuer..................

[modifier] Définition : suite numérique

Soit l'application $u$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$

$n \in \mathbb{N} \mapsto u_n \in \mathbb{R}$

On dit que $(u n)$ est la suite numérique de terme général $u n$ .

On peut la citer extensivement sous la forme :
$\{ u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n, \cdots \} \subset \mathbb{R}$

[modifier] suite extraite

On dit que $(v p)$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u n)$
si et seulement si :

strictement croissante telle que

[modifier] suite stationnaire

Soit $(u n)$ une suite numérique de terme général $u n$
On dit que $(u n)$ est une suite stationnaire si et seulement si :

$\begin{matrix} a)\quad \exists N \in\mathbb{N} \\b)\quad \exists a \in\mathbb{R} \end{matrix}$ tels que : $\forall n>N ; u_n=a$

[modifier] Suite Monotone

Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

[modifier] Suite croissante

[modifier] Définition

une suite $(u n)$ est croissante à partir d'un certain rang si

$\exists N \in \mathbb N$

tel que $\forall n\geq N, u_{n+1}\geq u_n$

[modifier] Exemple

$U n = n 2$

[modifier] Suite décroissante

[modifier] Définition

une suite $(u n)$ est décroissante à partir d'un certain rang si

$\exists N \in \mathbb N$

tel que $\forall n\geq N, \ u_{n+1}\leq u_n$

[modifier] Exemple

$u_n = \frac 1 n$

[modifier] Application

pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux

d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n\,$
d'étudier le signe de $\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1$
si la suite est de la forme $u_n=f(n)\,$ , d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée

[modifier] Exemple

$n + 1$

[modifier] Suite Bornée

[modifier] Suite Minorée

Une suite $u n$ est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\exists A\in\mathbb R$ tel que $\forall n\in\mathbb N \ u_n>A$

[modifier] Suite Majorée

Une suite $u n$ est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\exists A\in\mathbb R$ tel que $\forall n\in\mathbb N \ u_n<A$

[modifier] Suite Bornée

Une suite $u n$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

$|u_n|<A\,$

[modifier] Exemples et applications

[modifier] Convergence et Limite

[modifier] Limite finie

[modifier] Definition

Une suite possédant une limite finie est convergente

On dit que la suite $(u n)$ converge vers une limite $l$ si quel que soit $ε > 0$ tous les termes de la suite $(u n)$ appartiennent à un intervalle $[l - ε; l + ε]$ sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

$\forall\epsilon>0 \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb N$

tel que $\forall n>N(\epsilon) \Rightarrow |u_n-l|< \epsilon$

dans ce cas on note $\lim_{n \to \infty}u_n=l$ ou $u_n \rightarrow l$

[modifier] Unicité de la limite

[modifier] Théorème

Une suite convergente a une unique limite l.

[modifier] Démonstration

Soit une suite $(u n)$ convergente, supposons que la suite $(u n)$ possède deux limites distinctes $l$ et $l'$

d'après la definition de la limite on peut affirmer que:

$\forall\epsilon>0 \ \exists N \in \mathbb N$

tel que $\forall n>N \Rightarrow |u_n-l|< \epsilon$

et

$\forall\epsilon>0 \ \exists N' \in \mathbb N$

tel que $\forall n>N' \Rightarrow |u_n-l'|< \epsilon$

donc $n > max(N, N')$ on a

$|u_n-l|< \epsilon \,$ (1)

$|u_n-l'|< \epsilon \,$ (2)

en additionnant (1) et (2) on a

$|u_n-l'|+|u_n-l|< 2\epsilon \,$ (3)

d'après l'inégalité triangulaire

$|l-l'|=|l-u_n - l'+ u_n| < |l - u_n|+|-l' + u_n| = |u_n - l'|+|u_n - l|\,$ (4)

en intégrant (4) à (3) on obtient

$|l-l'|<2\epsilon\,$ (5)

puisque cette inégalité est vraie pour tout $ε > 0$ et que l'on a posé au départ $l \ne l'$ on peut poser $\epsilon = 1/4|l-l'|\,$ en l'intégrant à (5) on obtient

$|l-l'|<2 \times \frac{1}{4} |l-l'|\,$

donc $1<\frac{1}{2}\,$ j

Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que l = l', et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente

[modifier] Théorème des suites monotone bornées

[modifier] Théorème

Une suite majorée et croissante est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente

[modifier] Démonstration

[modifier] Théorème des suites convergentes

[modifier] Théorème

Une suite convergente est bornée

[modifier] Démonstration

$u n$ converge vers l, donc d'après la définition de la convergence d'une suite, il existe $N 0$ tel que :

$\forall\epsilon>0 \ \exists N_0(\epsilon) \in \mathbb N$ tel que :

$\forall n>N_0(\epsilon) \Rightarrow |u_n-l|< \epsilon$
On pose $ε = 1$

D'ou pour $n > N 0$ , on a :
$ε > | u n - l | > | u n | - | l]$
D'où on trouve $| u n | < ε + | l |$
Or $ε = 1$ , d'où : $| u n | < | l | + 1$

D'ou pour $n > N 0$ : $| u n | < m a x ( | l | + 1, | u 0 | , | u 1 | ,....., | u (N 0) | ) = K$

D'où $u n$ est bornée

Je pense qu'il faudrait une inégalité large ?

[modifier] Limite infini

Toute suite non convergente est dite divergente

[modifier] Operations sur les limites

[modifier] Adhérence

L'adhérence est l'ensemble des points d'accumulation d'une suite noté $\bar A$ .

Par exemple, soit ${ \left(a_n \right) }_{n \in \mathbb{N} } = {\left(-1 \right) }^{n}$ , ses points d'accumulation sont évidemment $\left(1 \right)$ et $\left(-1 \right)$ .

Un autre définition serait de le définir par l'ensemble contenant toutes les limites de suites formée des éléments de ${ A \in E }$ .

[modifier] Suites particulières

[modifier] Suites de Cauchy

Une suite de Cauchy est définie par :

${ \forall \left(n,m \right) \in \mathbb{N}^2, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \left(n,m \right) > N, \left\| a_n - a_m \right\| < \epsilon }$

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[modifier] Théorème

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