CMC/3ème/Arithmétique
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Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).
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[modifier] Qu'est ce que l'arithmétique ?
Ce nom vient du grec arithmos qui signifie "nombre". L'arithmétique est la science des propriétés des nombres entiers.
[modifier] Diviseurs et multiples
[modifier] Exemple 1
3 est un diviseur de 21.
7 est un diviseur de 21.
21 est divisible par 7.
21 est divisible par 3.
21 est un multiple de 3.
21 est un multiple de 7.
[modifier] Exemple 2
7 est un diviseur de 28 et aussi un diviseur de 35
7 est donc un diviseur commun de 28 et 35
[modifier] Critères de divisibilité
Par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8
Par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3
Par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est soit 0 soit 5
Par 9 : Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9
Par 10 : Un nombre est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0
[modifier] Exercices
Faites des exercices pour utiliser le vocabulaire ci-dessus.
[modifier] Plus grand diviseur commun de deux entiers positifs
Parmi les diviseurs communs de deux nombres a et b, il y en a toujours un « plus grand », noté PGCD(a, b)
[modifier] Exemple : pgcd(24, 36)
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
donc le plus grand diviseur commun de 24 et 36 est : pgcd(24, 36)= 12
[modifier] Exercices
Faites des exercices
pour trouver les diviseurs communs de deux nombres.
[modifier] Algorithme d’Euclide : une méthode pour trouver le pgcd
Le mot algorithme vient du mathématicien arabe du XIème siècle Al Khawarismi.
Euclide est un savant grec (Alexandrie) du IIIème siècle avant JC, auteur des fameux « éléments ».
Un algorithme est une procédure automatisée qui permet de trouver un résultat « sans réfléchir ». Par exemple, quand on pose une opération, on applique un algorithme.
L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver le pgdc de deux entiers par le calcul.
[modifier] Propriété
Dans une division euclidienne :
où a : dividende ; q : quotient ; r : reste
Si r est non nul alors 
[modifier] Exemple
[modifier] Algorithme d’Euclide : Exemple
On veut le PGCD de 702 et 273.
On effectue les divisions successives :
Le dernier reste non nul est 39 donc 
[modifier] Exercices
Faites des exercices pour trouver le pgcd avec l'algorithme d'Euclide.
[modifier] Applications du pgcd
[modifier] Nombres premiers entre eux
[modifier] Définition
Deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
[modifier] Propriété
Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur pgcd vaut 1 et réciproquement si le pgcd de deux nombres est 1 alors ils sont premiers entre eux.
[modifier] Exemple
25 et 36 sont premiers entre eux (bien qu’aucun des deux ne soit premier !) car leur pgcd vaut 1.
[modifier] Contre-exemple
24 et 36 ne sont pas premiers entre eux, car leur pgcd vaut 12, leurs diviseurs communs sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 12
[modifier] Exercices
Faites des exercices pour savoir démontrer que deux nombres sont premiers entre eux.
[modifier] Rendre une fraction irréductible
Définition : Une fraction irréductible est une fraction qu'on ne peut pas simplifier davantage.
Propriété : Dans une fraction irréductible, le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) sont premiers entre eux.
Méthode : Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de simplifier par le pgcd du numérateur et du dénominateur.
[modifier] Exemple
Pour rendre irréductible la fraction 
Calculons avec l'algorithme d'Euclide le 
donc 
donc 
et cette dernière fraction est irréductible.
[modifier] Exercices
Faites des exercices pour savoir rendre irréductible une fraction en utilisant le pgcd.
