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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).

Sections

1 Identités remarquables
2 Exercices
3 Factorisation
4 Liens externes
- 4.1 Articles de wikipédia sur les identités remarquables

Identités remarquables

A quoi sert une identité remarquable ?

Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d'autres.

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

Il faut maîtriser les carrés
Il faut savoir réduire

La première identité remarquable

Pour a et b deux nombres quelconques, on a :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \,$

Exemple : Calculer

$(5 + 3)^2 = ...\,$

$5^2 + 2 \times 5 \times 3 + 3^2 = ...$

Solution

$(5 + 3) 2 = 8 2 = 64$

$\scriptstyle{5^2 + 2 \times 5 \times 3 + 3^2 = 25 +30 + 9 = 64}$

Les deux calculs donnent bien le même résulat, c'est le sens de l'identité remarquable pour a = 5 et b= 3.

Exemple d'application : Développer

$(x + 3) 2 = ...$

Solution

On utilise l'identité remarquable avec a = x et b = 3

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

La deuxième identité remarquable

Pour a et b deux nombres quelconques, on a :

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,$

Exemple : Calculer

$(5 - 4) 2 = ...$

$\scriptstyle{5^2 - 2 \times 5 \times 4 + 4^2 = ...}$

Solution

$(5 - 4) 2 = 1 2 = 1$

$\scriptstyle{5^2 - 2 \times 5 \times 4 + 4^2 = 25 - 40 + 16 = -15 + 16 = 1}$

Les deux calculs donnent bien le même résulat, c'est le sens de l'identité remarquable pour a = 5 et b= 4.

Exemple d'application : Développer

$(x - 5) 2 = ...$

Solution

On utilise l'identité remarquable avec a = x et b = 5

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10 x + 25$

La troisième identité remarquable

Pour a et b deux nombres quelconques, on a :

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \,$

Exemple : Calculer

$\scriptstyle{(5 + 3)\times (5 - 3) = ...}$

$\scriptstyle{5^2 - 3^2 = ...}$

Solution

$\scriptstyle{(5 + 3) \times (5 - 3) = 8 \times 2 = 16}$

$\scriptstyle{5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16}$

Les deux calculs donnent bien le même résulat, c'est le sens de l'identité remarquable pour a = 5 et b= 3.

Exemple d'application : Développer

$(x + 3) \times (x - 3) = ...$

Solution

On utilise l'identité remarquable avec a = x et b = 3

$(x + 3) \times (x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Exercices

Factoriser: A= (2x+5)(2x+5) - 49(3x-5)(3x-5)

Factorisation

Quand on transforme une somme en produit, on dit que l'on factorise. La factorisation est donc la transformation inverse du développement. On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser.

Factoriser avec la première identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression

$x^2+4x+4\,$

L’expression comporte 3 termes, uniquement des additions, on utilise donc la première identité.

Ici $a 2 = x 2$ donc $a = x$ ; $b 2 = 4$ donc $b = 2$

Finalement

$x^2+4x+4=(x+2)^2\,$

Faites des exercices de factorisation avec la première identité remarquable

Factoriser en utilisant la deuxième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression

$x^2-14x+49\,$

L’expression comporte 3 termes, avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.

Ici $a 2 = x 2$ donc $a = x$ ; $b 2 = 49$ donc $b = 7$

Finalement $x^2-14x+49=(x-7)^2\,$

Faites des exercices de factorisation avec les deux premières identités remarquables

Factoriser avec la troisième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression

$x^2-16\,$

L’expression comporte 2 termes et c'est une différence, on utilise donc la troisième identité.

Ici $a 2 = x 2$ donc $a = x$ ; $b 2 = 16$ donc $b = 4$

Finalement

$x^2-16=(x+4)\times(x-4)\,$

Faites des exercices de factorisation avec la troisième identité remarquable

Factoriser en trouvant un facteur commun

Parfois, l'expression à factoriser n'est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu'à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.

Exemple : Soit à factoriser l’expression

$5(x+3)+(x+4)(x+3)\,$

Le facteur commun est $(x + 3)$ .

Finalement

$5(x+3)+(x+4)(x+3)=(5+(x+4))\times(x+3)=(x+9)\times(x+3)\,$

Faites des exercices de factorisation où il y a un facteur commun

Liens externes

Articles de wikipédia sur les identités remarquables

Identité remarquable

Identités remarquables (plus difficile)

CMC/3ème/Calcul littéral

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Sections

Identités remarquables

A quoi sert une identité remarquable ?

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

La première identité remarquable

Exemple : Calculer

Exemple d'application : Développer

La deuxième identité remarquable

Exemple : Calculer

Exemple d'application : Développer

La troisième identité remarquable

Exemple : Calculer

Exemple d'application : Développer

Exercices

Factorisation

Factoriser avec la première identité remarquable

Faites des exercices de factorisation avec la première identité remarquable

Factoriser en utilisant la deuxième identité remarquable

Faites des exercices de factorisation avec les deux premières identités remarquables

Factoriser avec la troisième identité remarquable

Faites des exercices de factorisation avec la troisième identité remarquable

Factoriser en trouvant un facteur commun

Faites des exercices de factorisation où il y a un facteur commun

Liens externes

Articles de wikipédia sur les identités remarquables

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