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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).

Il existe une page d'Exercices à faire en parallèle avec la lecture de ce chapitre.

Racines carrées

A quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?

Certains nombres ne peuvent se mettre exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction. On peut alors essayer de les écrire sous forme de racines carrées.

Définition

En mathématiques, la racine carrée d’un nombre x est le nombre positif dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x

Si a est un nombre positif.

La racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré est a

Elle se note :

$\sqrt{a}$

Premières propriétés

$\sqrt{a}^2= a$ $\sqrt{a^2}=a$

Observer les différents placements du carré dans ces formules !

Exemples

$\sqrt{9} = 3\ car \ \sqrt{9}^2 = 3^2= 9$

$\sqrt{3^2} = 3$

Propriété

$\sqrt{x^2} = |x|$

Racines carrées et multiplication

La racine carrée "se comporte bien" avec les multiplications et les divisions.

Propriété

Si a et b sont deux nombres positifs :

$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\,$

Exemple

$\sqrt{9\times 4}=\sqrt{36}=6$

$\sqrt{9}\times \sqrt{4}=3\times2 = 6\,$

On obtient bien le même résultat !

Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?

Cette propriété pourrait-elle marcher avec une addition ?

Application à la simplification d'une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication :

$\sqrt{28}$

Solution

$\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}\ ou\ encore\ 2\sqrt{7}$

Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible

Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : $a\sqrt{b}$

Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.

Ainsi un résultat comportant une racine carrée a une unique écriture « irréductible », comme les fractions.

Exemple

$\sqrt{392}=\sqrt{49\times8}=\sqrt{49}\times\sqrt{8}=7\sqrt{8}$

Mais :

$7\sqrt{8}=7\times\sqrt{4\times2}=7\times2\sqrt{2}=14\sqrt{2}$

donc : $\sqrt{392}=7\sqrt{8}=14\sqrt{2}$

mais la forme la plus simple est : $14\sqrt{2}$ car b = 2 est le plus petit possible.

Exercices

Faites des Exercices de simplifications dans la rubrique Exercices

Racines carrées et division

La racine carrée "se comporte bien" avec les divisions.

Propriété

Si a et b sont deux nombres positifs, et si b est différent de 0.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\,$

Exemple

$\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2,25}=1,5\ rappelez\ vous\ 15^2=225 \,$

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}=1,5\,$

On obtient bien le même résultat !

Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?

Application à la simplification d'une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la division :

$\sqrt{\frac{16}{9}}$

Solution

$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$

Exercices

Faites des Exercices de simplifications dans la rubrique Exercices

Des fractions sans racines carrées au dénominateur

Pour avoir une écriture simplifiée unique; on a l'habitude d'écrire les fractions comportant de racines carrées sans racines au dénominateur (en bas). On utilise la propriété de la division.

Exemple

Donner une écriture de : $\frac{5}{\sqrt{7}}$ sans racines carrées au dénominateur.

Solution

$\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}=\frac{5}{7}\times\sqrt{7}$

Exercices

Faites des Exercices de simplifications dans la rubrique Exercices

Faites des Exercices de type "brevet" dans la rubrique Exercices

Exercices de brevet corrigés sur Ebeps.

Liens externes

Wikipédia propose un article sur : « Racine carrée ».

CMC/3ème/Racines carrées

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Sections

Racines carrées

A quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?

Définition

Premières propriétés

Exemples

Propriété

Racines carrées et multiplication

Propriété

Exemple

Application à la simplification d'une racine carrée

Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible

Exemple

Exercices

Racines carrées et division

Propriété

Exemple

Application à la simplification d'une racine carrée

Exercices

Des fractions sans racines carrées au dénominateur

Exemple

Exercices

Liens externes

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