CMC/3ème/Thalès

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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).



Théorèmes de Thalès


Sections

A quoi servent les théorèmes de Thalès ?

Le théorème direct de Thalès sert à calculer des longueurs. Le théorème réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles. La contraposée sert à démontrer que deux droites sont sécantes.

Le théorème direct de Thalès

Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles

Configuration "triangle"

Thalès

Configuration "papillon"

Thalès

alors il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs AD AE DE
Grandes Longueurs AB AC BC

Exemple dans la configuration "triangle"

Si AB = 5 cm, AD = 2 cm et AE = 3 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs AD = 2 AE = 3 DE
Grandes Longueurs AB = 5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : \frac{5}{2} = 2,5 donc AC = AE\times2,5 = 3\times 2,5 = 7,5

Exemple dans la configuration "papillon"

Si AB = 3,5 cm, AD = 2 cm et AE = 2,5 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs AD = 2 AE = 2,5 DE
Grandes Longueurs AB = 3,5 AC = ? BC

le coefficient de proportionnalité est : \frac{3,5}{2} = 1,75 donc AC = AE\times1,75 = 2,5\times 1,75 = 4,375 cm

Exercices

Faites des exercices sur le théorème de Thalès la même figure :calcule AE si AD=6;AB=9;AC=5

Remarques

  1. Il faut que le point pivot A apparaisse 4 fois dans les deux premières colonnes du tableau.
    Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d'utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.
  2. On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs.
  3. Peut-être êtes-vous intéressé par une démonstration du théorème de Thalès ?

La réciproque du théorème de Thalès

Version "triangle"

Si A, D et B sont alignés dans cet ordre,

si A, E et C sont alignés dans cet ordre,

et si on a égalité des rapports : \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}

alors on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus on a égalité des trois rapports :\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}

Exemple

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre,

avec AB = 10 cm, AD = 4 cm, AE = 6 cm et AC = 15 cm

alors :

\frac{AC}{AE}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2,5

\frac{AB}{AD}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5

et d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus, on a : \frac{BC}{DE}=2,5

Version"papillon"

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre,

si E, A et C sont alignés dans cet ordre,

et si on a égalité des rapports : \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}

alors on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus on a égalité des trois rapports :\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}

Exemple

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre; E, A et C sont alignés dans cet ordre, AB = 7 cm, AD = 4 cm, AE = 5 cm et AC = 8,75 cm alors :

\frac{AC}{AE}=\frac{8,75}{5}=1,75

\frac{AB}{AD}=\frac{7}{4}=1,75

alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles

de plus, on a : \frac{BC}{DE}=1,75


Exercices

Faites des exercices sur la réciproque du théorème de Thalès

Remarque

L'important ici est que les deux triplets de points soient alignés dans le même ordre, on pourrait donc résumer ces deux versions en une seule. Mais il n'y aurait plus moyen de savoir dans quelle configuration on se trouve.

Contraposée du théorème de Thalès

Si D, A et B sont alignés,

si E, A et C sont alignés,

et si on a des rapports différents : \frac{AC}{AE}\ne\frac{AB}{AD}

alors les droites (BC) et (DE) sont sécantes (c'est-à-dire non parallèles).

Remarque : Trois configurations sont ici possibles : triangle, papillon ou croisée. Se reporter aux figures de la réciproque.

Exemple

Dans la figure ci-dessous, démontrer que les droites (PM) et (BE) sont sécantes.

Thalès

Solution : P, H et E sont alignés ; B, H et M sont alignés ;

et :

\frac{HM}{HB}=\frac{2,5}{1,8}=\frac{25}{18}\approx1,39

\frac{HP}{HE}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\approx1,34

alors d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) sont sécantes.

Exercices

Faites des exercices sur la contraposée du théorème de Thalès

Liens

Animations

Site du kangourou : Une animation flash édifiante

Exercices interactifs

Sur les théorèmes de Thalès français et anglo-saxons

  • En Suisse, le théorème est principalement approché grâce à la « petite propriété de Thalès » française. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre la hauteur dans un triangle rectangle. [1]
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