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Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).

Trigonométrie

Sections

1 A quoi sert la trigonométrie ?
2 Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 2.1 cosinus et calculatrice
- 2.2 Formule du cosinus
3 Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 3.1 Sinus et calculatrice
- 3.2 Formule du sinus
4 Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 4.1 Tangente et calculatrice
- 4.2 Formule de la tangente
5 Relations trigonométriques
6 Liens externes

A quoi sert la trigonométrie ?

La trigonométrie sert à calculer, dans un triangle, des longueurs et des angles à partir d'autres longueurs et d'autres angles. En troisième, on fait de la trigonométrie dans les triangles rectangles.

Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

cosinus et calculatrice

Calcul d'un cosinus à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son cosinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\cos{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
cos	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$\cos{45}\approx 0,707$

Si vous obtenez 0,525 ou 0,760, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de son cosinus

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\cos{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	cos	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\cos{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$cos^{-1}(0,5)=60^\circ \,$

Faites des exercices pour calculer des cosinus et des angles à la calculatrice

Formule du cosinus

Dans un triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\cos{\hat{A}}=\frac{AB}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent\over hypot\acute{e}nuse}$

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : AB = 5 cm et AC = 7 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\cos{\hat{A}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}\approx0,714$

et : $\hat{A} = cos^{-1}(0,714)\approx44^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le cosinus.
La notation $c o s - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{cos}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\operatorname{Arccos}$ .

Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A C = 7 c m$ . Calculer $A B$

Solution

On a la formule :

$\cos{\hat{A}}=\cos{40}=\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{7}$

donc :

$AB = 7\times \cos{40} \approx5,4 \ cm \,$

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A B = 5 c m$ . Calculer $A C$

Solution

On a la formule :

$\cos{\hat{A}}=\cos{40}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{AC}$

donc : $AC\times \cos{40}=5 \,$

donc : $AC =\frac{5}{\cos{40}} \approx6,5 \ cm \,$

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du cosinus

Le cosinus a déjà été vu en quatrième

Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Sinus et calculatrice

Calcul d'un sinus à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\sin{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
sin	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$\sin{45}\approx 0,707$

Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de son sinus

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	sin	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$cos^{-1}(0,5)=30^\circ \,$

Faites des exercices pour calculer des sinus et des angles à la calculatrice

Formule du sinus

Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\sin{\hat{A}}=\frac{BC}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over hypot\acute{e}nuse}$

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AC = 7 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\sin{\hat{A}}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{7}\approx0,571$

et : $\hat{A} = sin^{-1}(0,571)\approx35^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus.
La notation $s i n - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{sin}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\scriptstyle{\operatorname{Arcsin}}$ .

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A C = 7 c m$ . Calculer $B C$

Solution

On a la formule :

$\sin{\hat{A}}=\cos{40}=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{7}$

donc :

$BC = 7\times \sin{40} \approx4,5 \ cm \,$

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $B C = 4 c m$ . Calculer $A C$

Solution

On a la formule :

$\sin{\hat{A}}=\sin{40}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{AC}$

donc : $AC\times \sin{40}= 4 \,$

donc : $AC =\frac{4}{\sin{40}} \approx6,2 \ cm \,$

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du sinus

Connaissez-vous l'étymologie du mot sinus

Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Tangente et calculatrice

Calcul d'une tangente à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer sa tangente avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\tan{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
tan	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

tan45 = 1

Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de sa tangente

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\tan{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	tan	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$tan^{-1}(0,5)\approx 27^\circ \,$

Faites des exercices pour calculer des tangente et des angles à la calculatrice

Formule de la tangente

Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\tan{\hat{A}}=\frac{BC}{AB}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent}$

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AB = 5 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\tan{\hat{A}}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,800$

et : $\hat{A} = tan^{-1}(0,800)\approx39^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente.
La notation $t a n - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{tan}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\scriptstyle{\operatorname{Arctan}}$ .

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A B = 5 c m$ . Calculer $B C$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\tan{40}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{5}$

donc :

$BC = 5\times \tan{40} \approx4,2 \ cm \,$

Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $B C = 4 c m$ . Calculer $A C$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\tan{40}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{AB}$

donc : $AB\times \tan{40}= 4 \,$

donc : $AB =\frac{4}{\tan{40}} \approx4,8 \ cm \,$

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du sinus

Relations trigonométriques

Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

La tangente comme quotient

On a pour toute mesure x d'un angle : $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus

Sachant que $\scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}$ et $\scriptstyle{\sin{\hat{A}}\approx 0,866}$ , calculer une valeur approchée de $tan x$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\frac{\sin{\hat{A}}}{\cos{\hat{A}}} \approx \frac{0,5}{0,866} \approx 0,577$

Intéressé par une démonstration de cette formule ?

Formule liant cosinus et sinus

On a pour toute mesure x d'un angle : $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1\,$

Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}$ , calculer une valeur exacte de $sin x$

Solution

On a la formule : $(\cos{\hat{A}})^2 + (\sin{\hat{A}})^2 = 1$

donc : $(\sin{\hat{A}})^2 =1 - (\cos{\hat{A}})^2= 1- 0,5^2 =1 - 0,25 = 0,75 = \frac{3}{4}$

donc : $\sin{\hat{A}}^2=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Modèle:CoursMathsCollègeExplication

Intéressé par une démonstration de cette formule ?

Faites des exercices sur les relations trigonométriques

Liens externes

Wikipédia propose un article sur : « Fonction trigonométrique ».

CMC/3ème/Trigonométrie

Un livre de Wikibooks.

Sections

A quoi sert la trigonométrie ?

Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

cosinus et calculatrice

Calcul d'un cosinus à la calculatrice

Calcul d'un angle à partir de son cosinus

Faites des exercices pour calculer des cosinus et des angles à la calculatrice

Formule du cosinus

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse

Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du cosinus

Le cosinus a déjà été vu en quatrième

Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Sinus et calculatrice

Calcul d'un sinus à la calculatrice

Calcul d'un angle à partir de son sinus

Faites des exercices pour calculer des sinus et des angles à la calculatrice

Formule du sinus

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du sinus

Connaissez-vous l'étymologie du mot sinus

Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Tangente et calculatrice

Calcul d'une tangente à la calculatrice

Calcul d'un angle à partir de sa tangente

Faites des exercices pour calculer des tangente et des angles à la calculatrice

Formule de la tangente

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

Faites des exercices pour calculer des angles et des longueurs avec la formule du sinus

Relations trigonométriques

La tangente comme quotient

Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus

Intéressé par une démonstration de cette formule ?

Formule liant cosinus et sinus

Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus

Intéressé par une démonstration de cette formule ?

Faites des exercices sur les relations trigonométriques

Liens externes

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