CMC/4ème/Calcul littéral

Un livre de Wikibooks.


Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).
Wikiversity-logo.svg
Contenu transféré sur Wikiversité

Le contenu que vous recherchez a été déplacé vers la Wikiversité. Il devrait être disponible sous le nom Calcul littéral/Distributivité double.

Le calcul littéral est un des thèmes les plus difficiles de l'année de quatrième. Pourtant il est indispensable de le maîtriser pour résoudre des équations, et plus tard travailler avec des fonctions.

Sections

Réduction

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes en x entre eux, les termes en x2 entre eux, etc...

Ne pas confondre addition et multiplication

x \times x = ... \,

x + x = ... \,

Solution

x \times x = x^2 \,

x + x = 2x \,

Réduire des additions

2x + 5x = ... \,

-x + 3x = ... \,

Solution

2x + 5x = 7x \,

-x + 3x = 2x\,

Réduire des multiplications

2 \times x \times 4 = ... \,

2\times x \times (-5) = ... \,

Solution

2 \times x \times 4 = 2 \times 4 \times x = 8 \times x = 8x \,

2 \times x \times (-5) = 2 \times (-5) \times x = -10 \times x = -10x \,

Réduire des carrés

Simplifier

(3x)^2 = ... \,

(-x)^2 = ... \,

Solution

(3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 \, Il faut utiliser la règle : (a \times b)^2 = a^2 \times b^2 \,

(-x)^2 = (-1 \times x)^2 = (-1)^2 \times x^2 = 1 \times x^2 = x^2 \,

On ne réduit pas des x avec des x au carré

2x − 7 + 3x2 + 5x − 4x2 + 5

Solution

On regroupe les x2 entre eux, les x entre eux et les constantes entre elles.

2x − 7 + 3x2 + 5x − 4x2 + 5 = 3x2 − 4x2 + 2x + 5x − 7 + 5 = − x2 + 7x − 2

Exercices

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Exemple

Calculer séparément

4\times(3+2)=

4\times3+4\times2=

Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :

Propriété

Pour tous nombres k, a et b :

k\times (a+b)=k\times a +k\times b
k\times (a-b)=k\times a -k\times b
(a+b)\times k= a\times k +b\times k
(a-b)\times k= a\times k -b\times k

Quand nous utilisons ces proriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.

Exemples

Développer :

(-2)\times (3+5)=
2\times (3-5)=
(7+2)\times5=
(2-7)\times 3=


Solution

(-2)\times (3+5)=(-2)\times 3 +(-2)\times 5
2\times (3-5)=2\times 3 -2\times 5
(7+2)\times 5= 7\times 5 +2\times 5
(2-7)\times 3= 2\times 3 -7\times 3

Il est intéressant dans chaque exmple de calculer les membres de gauche et de droite pour se convaincre que les résultats sont les mêmes.

Développements en calcul littéral (avec des x)

La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.

Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

5\times (x+2)=
2\times (2x-5)=
(7+2x)\times3=
(2x-7)\times (-3)=

Solution

5\times (x+2)=5\times x +2\times 5=5\times x+10
2\times (2x-5)=2\times 2x-2\times 5=4x-10
(7+2x)\times3= 7\times 3+2x\times 3=21+6x
(2x-7)\times (-3)= 2x\times(-3)-7\times(-3)=-6x+21

Exercices

La double distributivité

Formules

(a+b)\times(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d
(a-b)\times(c+d)=a\times c+a\times d-b\times c-b\times d
(a+b)\times(c-d)=a\times c-a\times d+b\times c-b\times d
(a-b)\times(c-d)=a\times c-a\times d-b\times c+b\times d

Exemples

Développer :

(x+2)\times(x+3)=
(x-2)\times(5+x)=
(2x+3)\times(x-4)=
(-3x-5)\times(x-1)=

Solution

(x+2)\times(x+3)=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3
(x-2)\times(5+x)=x\times 5+x\times x-2\times 5-2\times x
(2x+3)\times(x-4)=2x\times x-2x\times 4+3\times x-3\times 4
(-3x-5)\times(x-1)=-3x\times x-(-3x)\times 1-5\times x+5\times 1

Voir une démonstration de ces formules

Exercices

Récupérée de « http://fr.wikibooks.org/wiki/CMC/4%C3%A8me/Calcul_litt%C3%A9ral »