CMC/4ème/Fractions

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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).
Fractions

Sections

[modifier] A quoi servent les fractions ?

L’écriture fractionnaire est une autre façon d’écrire les nombres.

0,25 = \frac{1}{4}

La barre de fraction représente une division que l’on "se retient" d’effectuer, car :

  • Certains nombres ont une écriture fractionnaire plus simple que leur écriture décimale et sont plus « parlants » sous forme de fractions.
\frac{1}{16}=0,0625


  • Certains nombres n’ont pas d’écriture décimale finie, alors que leur écriture fractionnaire est simple :
\frac{1}{7}\approx1,142857142857142587...

[modifier] Faites des exercices pour apprendre à mettre sous forme de fraction

L'addition des fractions a été vue en cinquième.

[modifier] Faites des exercices de révision sur l'addition des fractions

La simplification des fractions a été vue en cinquième.

[modifier] Faites des exercices de révision sur la simplification des fractions

[modifier] Prendre une fraction d'un nombre

Remarque : Prendre trois quarts de 12 revient à multiplier \frac{3}{4} par 12, car :

\frac{3}{4}de\ 12= 3\times \frac{1}{4}de\ 12=3\times 3=9|
\frac{3}{4}\times 12=0,75\times 12=9

On généralise :

[modifier] Théorème : Prendre une fraction d’un nombre revient à le multiplier par cette fraction

Remarque : L'ordre des opérations ne change rien ici.

\frac{3\times 12}{4}=\frac{36}{4}=9

\frac{3}{4}\times 12=0,75\times 12=9

On généralise par la règle :


\frac{a}{b}\times c=\frac{a\times c}{b}
Règle  : multiplier un nombre par une fraction

[modifier] Exemple : Calculer deux tiers de 14 sous forme de fraction

\frac{2}{3}de\ 14=\frac{2}{3}\times 14=\frac{2\times 14}{3}=\frac{28}{3}

[modifier] Faites des exercices pour apprendre à multiplier un nombre par une fraction

[modifier] Multiplication des fractions

[modifier] Pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs (en haut) entre eux et les dénominateurs (en bas) entre eux


\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}
Règle  : multiplier deux fractions

[modifier] Exemple

\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{2\times 5}{3\times 4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}

[modifier] Remarque : La fraction obtenue après application de la règle peut souvent être simplifiée, et il vaut mieux le faire avant d'effectuer les multiplications

Exemple : \frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{2\times 5}{3\times 4}=\frac{1\times \not2\times 5}{3\times 2 \times \not2}=\frac{1\times 5}{3\times 2}=\frac{5}{6}

[modifier] Faites des exercices pour apprendre à multiplier les fractions

[modifier] Intéressé par une démonstration de la règle de multiplication ?

[modifier] Inverse d'une fraction

Exemple : Calculer \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}

Solution

\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{2\times3}{3\times 2}=\frac{\not2\times3}{3\times \not2}=\frac{3}{3}=1

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1

\frac{2}{3} est donc l'inverse de \frac{3}{2}

\frac{3}{2} est donc l'inverse de \frac{2}{3}

Pour trouver l'inverse d'une fraction, il suffit donc d'échanger numérateur et dénominateur.


L'inverse de \frac{a}{b} est \frac{b}{a}
Théorème  : Inverse d'une fraction

[modifier] Faites des exercices pour apprendre à calculer des inverses

[modifier] Division de fractions

L'inverse de 4 est \frac{1}{4}

Calculons :

3\times \frac{1}{4}=\frac{3\times 1}{4}=\frac{3}{4}

On généralise pour obtenir le :

[modifier] Théorème : Diviser par un nombre revient à le multiplier par son inverse


\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}
Théorème : Diviser par un nombre revient à le multiplier par son inverse

[modifier] Division de deux fractions

Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème :

\frac{4}{5}\over\frac{7}{8}\,

Solution

\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{5}\times\frac{8}{7}=\frac{4\times8}{5\times7}=\frac{32}{35}

[modifier] Que penser de la règle : diviser deux fractions revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ?

Cette règle est correcte, mais ne permet pas de résoudre le problème.

Soit : \frac{a}{b}\over\frac{c}{d}

En divisant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, on obtient : \frac{a}{b}\over\frac{c}{d} = \frac{a}{c}\over\frac{b}{d}

Soit une autre division de fraction !

Cependant, ces deux divisions donne le même résultat : \frac{a}{b}\over\frac{c}{d} = \frac{a}{c}\over\frac{b}{d} = \frac{a\times d}{b\times c}

[modifier] Faites des exercices pour apprendre à diviser des fractions

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