CMC/4ème/Puissances

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Les puissances sont très importantes en mathématiques mais aussi en physique-chimie puisqu'elles permettent d'énoncer des valeurs très grandes et ainsi d'éviter d'écrire des nombres se terminant par une multitude de zéros...

Sections

1 Puissances de 10 et écriture scientifique
- 1.1 Puissances de 10
- 1.2 Ecriture scientifique
  - 1.2.1 Exemples
  - 1.2.2 Exercices
2 Puissances d'un nombre relatif
- 2.1 A: Exposant positif
- 2.2 B: Exposant négatif
  - 2.2.1 Exemples
  - 2.2.2 Exercices
3 Puissances et opérations
4 Liens externes

[modifier] Puissances de 10 et écriture scientifique

[modifier] Puissances de 10

On a :

$10^2 =10\times 10= 100$ ; $10^3=10\times 10\times 10=1000$

plus généralement si n est un entier positif:

$\begin{matrix} \\ 10^n = \end{matrix}\begin{matrix} n fois \\ \overbrace{10 \times \cdots \times 10} \end{matrix}\begin{matrix} \\ = \end{matrix}\begin{matrix} n z\acute{e}ros \\ \overbrace{10\cdots0} \end{matrix}$

et on note :

$\begin{matrix} \\ 10^{-n}=\frac{1}{10^n}= \end{matrix}\begin{matrix} \\ 10^n = \end{matrix} \begin{matrix} n z\acute{e}ros \\ \overbrace{0,0 \cdots 1} \end{matrix}$

[modifier] Exemples

10³=1 000, 10¹=10 ,10⁰=1
10⁶=1 000 000, 10⁹= un milliard
10^-3= un millième, 10^-6= un millionième

[modifier] Règles pour multiplier par une puissance de 10

Si n est un entier positif

Multiplier un nombre décimal par $10 n$ revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la droite
Multiplier par $10 - n$ un nombre décimal revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la gauche

[modifier] Exemples

$3,2\times 10^3=$ $3200\,$ $4\times 10^{-2}=$ $0,04 \,$ $400\times 10^{-5}=$ $0,004\,$

[modifier] Exercices

Faites des exercices pour vous familiariser avec les puissances de 10.

[modifier] Ecriture scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme :

$\pm \Box ,\Diamond \Diamond \cdots \Diamond \times 10^\pm\triangle$

où $\Box$ est un chiffre non nul ; $\Diamond$ est un chiffre et $\triangle$ est un entier.

[modifier] Exemples

L'écriture scientifique de $124,3$ est :

$1,243\times 10^2$

Donner les écritures scientifique de : 12,3 ; 3254 ; 0,00125 ; 9,3.

Solution

$12,3=1,23\times 10^1$

$3254=3,254\times 10^3$

$0,00125=1,25\times 10^{-3}$

$9,3=9,3\times 10^0$ mais on note habituellement simplement 9,3

[modifier] Exercices

Faites des exercices pour apprendre à passer de l'écriture décimale à l'écriture scientifique et réciproquement.

[modifier] Puissances d'un nombre relatif

[modifier] A: Exposant positif

Définition : Si a est un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 1, on note :

$\begin{matrix} \\ a^n = \end{matrix} \begin{matrix} n fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix}$

Le nombre n est appelé exposant de a.

On pose pour tout nombre relatif a : $a^0 = 1\,$

[modifier] Cas particuliers

Si a est un nombre relatif :

$a^4=a\times a \times a\times a$ se lit "a exposant 4" ou "a à la puissance 4"

$a^2=a\times a$ se lit "a au carré"

$a^3=a\times a\times a$ se lit "a au cube"

$a^1=a\,$

[modifier] Exemples

Calculer $2^4\ ;\ 3^3\ ;\ 1^2\ ;\ 0^1\ ;\ 2^0\,$

Solution

$2^4 = 2 \times 2\times 2\times 2 = 16 ; 2^3 = 2 \times 2\times 2 = 8 ; 2^2 = 2\times 2 = 4 ; 2^1 = 2 ; 2^0 = 1$

[modifier] Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

[modifier] B: Exposant négatif

Définition : Si a est un nombre relatif non nul et n un entier supérieur ou égal à 0, on note : L'inverse de la puissance énième de a est noté :

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

En particulier : $a^{-1}= \frac{1}{a}$ (l'inverse du nombre a).

[modifier] Exemples

$\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\times3\times3\times3}=\frac{1}{81}$

Calculer $2^{-3}\ ;\ \ 1^{-2}\,$

Solution

$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0,125\ ;\ 1^{-2}=\frac{1}{1^2}=1\,$

[modifier] Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

[modifier] Puissances et opérations

Remarques :

Dans toutes les formules suivantes, a et b sont des nombres relatifs, m et n des entiers relatifs.
Il faut supposer a ou b non nuls si l'on les met à un exposant négatif, ou bien si l'on divise par ces nombres.