CMC/4ème/Puissances/approfondissements

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Vous trouverez sur cette page quelques approfondissements sur le chapitre puissances.

Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.

Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver par lui-même.

Sections

[modifier] Démonstrations

[modifier] Puissances et multiplications

[modifier] Règle 1

Nous voulons montrer que :

a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} \,

Supposons que m et n sont positifs, alors :

\begin{matrix} \\ a^n = \end{matrix} \begin{matrix} n fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix}

et

\begin{matrix} \\ a^m = \end{matrix} \begin{matrix} m fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix}

donc

\begin{matrix} \\ a^n \times a^m = \end{matrix} \begin{matrix} n fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix}\begin{matrix} \\ \times \end{matrix}\begin{matrix} m fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix} \begin{matrix} \\ = \end{matrix} \begin{matrix} n + m fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix} \begin{matrix} \\ = \end{matrix} \begin{matrix} \\ a^{n+m}\end{matrix}

[modifier] Règle 2

Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs

[modifier] Puissances et divisions

[modifier] Règle 3

En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a. Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.

[modifier] Règle 4

Il faut se rappeler la règle de multiplication des fractions.

[modifier] "Fausses règles"

La plus célèbre est :

\mathfrak{a^m\times b^n=(a\times b)^{m+n}}

Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec a \ne b

[modifier] Pourquoi a0 = 1 ?

Calculons

a^n\times a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0

Mais

a^n\times a^{-n}=a^n\times \frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1

donc

a^n \times a^{-n} = 1

Remarque : Cette démonstration n'est valable que si a est non nul. La valeur de 00 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction

(x;y)\longmapsto x^y
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