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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).

Il peut être utile, avant d'aborder ce chapitre, de revoir le chapitre sur les relatifs de cinquième.

Sections

1 Produit de nombres relatifs
2 Inverse d'un nombre relatif
- 2.1 Définition de l'inverse
- 2.2 Inverse et division
3 Quotient de deux nombres relatifs

[modifier] Produit de nombres relatifs

[modifier] Cas du produit de deux nombres

[modifier] Règle des signes

Propriété :

Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Le produit de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

Cette règle peut être résumée par le tableau suivant

		Signe du premier facteur
		+	-
Signe du deuxième facteur	+	+	-
Signe du deuxième facteur	-	-	+

[modifier] Exemples

$3 \times 5 = 15$	Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.
$(-6) \times (-3) = 18$	Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.
$(-4) \times 7 = -28$	Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.
$8 \times (-2) = -16$	Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

[modifier] Produits particuliers

Pour tout nombre relatif a

$1 \times a = a \times 1 = a$

$(-1) \times a = a \times (-1) = -a$

$0 \times a = a \times 0 = 0$

$a^2 = a \times a$ est toujours positif

[modifier] Cas général

Propriété :

Un produit de nombre relatifs est positif s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs
Un produit de nombre relatifs est négatif s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs

Exemples

$(-1) \times (-7) \times 2 \times 3 = 42$
Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair. $(-3) \times (-2) \times 2 \times (-5) \times (-1) \times (-3) \times 8 = -1440$
Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair.

[modifier] Liens utiles

Pour travailler sur le produit de nombres relatifs, des exercices interactifs et des animations :

MathenPoche ; le Matou Matheux ; 123math.

[modifier] Inverse d'un nombre relatif

[modifier] Définition de l'inverse

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut 1

Calcul de l'inverse : L'inverse d'un nombre correspond au résultat de la division de 1 par ce nombre.

Exemples:
L'inverse de 2 est 0.5 car 1/2=0.5.
L'inverse de 10 est 0.1 car 1/10=0.1.
L'inverse de 1 est 1 car 1/1=1.
L'inverse de 5 est 0.2 car 1/5=0.2.

Attention: Il ne faut pas confondre « inverse » et « opposé ». L’opposé de 2 est -2. L'inverse de 2 est 0,5.

Théorème : Un nombre relatif et son inverse ont même signe.

Exemples

L'inverse de -2 est -0,5, ils sont tous deux négatifs.

L'inverse de 10 est 0,1, ils sont tous deux positifs.

L'inverse de -0,25 est -4, ils sont tous deux négatifs.

[modifier] Inverse et division

Calculons :

$5 \times 0,5 = 2,5\,$

$5 \div 2= 2,5\,$

Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.

Théorème : Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.

Exemples : Transformer en multiplications les calculs ci-dessous :

$10 \div 4 = 10 \times 0,25$

$-15 : 5 = .................\,$

$222 : (-10) = ................\,$

$-25 : (-2) = .................\,$

$-24 : 100 = ..................\,$

Comme un nombre et son inverse ont même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle de la multiplication.

[modifier] Quotient de deux nombres relatifs

[modifier] Règle des signes

La règle des signe est la même que pour le produit.

Propriété :

Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Le quotient de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

[modifier] Exemples

${7 \over 2} = 3,5$	Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux positifs.
${(-6) \over (-3)} = 2$	Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs.
${(-1) \over 8} = -0,125$	Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.
${5 \over (-3)} \simeq - 1,6667$	Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.