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Cours de mathématiques collège

Ce cours de mathématiques suit les programmes officiels français.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).

Sections

1 Vocabulaire dans le triangle rectangle
2 Théorème de Pythagore
3 Réciproque du théorème de Pythagore
- 3.1 La réciproque
- 3.2 Application
4 Cercle circonscrit d'un triangle rectangle
- 4.1 Le théorème
- 4.2 Conséquence sur la médiane
5 Triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés

Vocabulaire dans le triangle rectangle

Définition : Dans un triangle rectangle, le plus grand côté (celui qui est opposé à l'angle droit) est appelé hypoténuse.

Si un des angles non droits se note $\scriptstyle \widehat {A}$ , alors, le côté de l'angle $\scriptstyle \widehat {A}$ qui n'est pas l'hypoténuse est appelé côté adjacent à l'angle $\scriptstyle \widehat A$

Le troisième côté est alors le côté opposé à l'angle $\scriptstyle \widehat A$

Théorème de Pythagore

Le théorème

Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Par exemple, dans le triangle de la figure précédente, on a l'égalité : $A B 2 = A C 2 + B C 2$

Si vous n'avez jamais entendu parler du carré d'un nombre (par exemple à propos de l'aire d'un disque en cinquième) : une petite mise au point s'impose

Applications

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle lorsque l'on connaît les longueurs des deux autres côtés.

1er exemple : on connait les longueurs des deux côtés de l'angle droit

Soit GZK un triangle rectangle en Z et tel que GZ = 6 et ZK = 8. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.

Je sais que le triangle GKZ est rectangle en Z

D'après le théorème de Pythagore :
$G K 2 = G Z 2 + Z K 2$
$G K 2 = 6 2 + 8 2$
$G K 2 = 36 + 64$
$G K 2 = 100$

GK est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 100 :
$G K = 10$

2ème exemple : on connaît les longueurs d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse

Soit LDS un triangle rectangle en S et tel que LD = 13 et DS = 12. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.

Je sais que le triangle LDS est rectangle en S

D'après le théorème de Pythagore :
$D S 2 + L S 2 = L D 2$
$L S 2 = L D 2 - D S 2$
$L S 2 = 13 2 - 12 2$
$L S 2 = 169 - 144$
$L S 2 = 25$

LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 :
$L S = 5$

Racine carrée

Définition : Le nombre positif dont le carré vaut

a

est appelé racine carré de

a

et est noté $\scriptstyle \sqrt{a}$

Exemple

$\sqrt{9} = 3\ car \ 3^2= 9$

Faites des exercices de calcul de racines carrées à la calculatrice

En général, il n'est pas simple de calculer la racine carrée d'un nombre. Pour en obtenir une valeur (souvent approchée), on utilise la touche $\scriptstyle \sqrt{\quad}$ de la calculatrice.

Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Le théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle dont on connait les longueurs des trois côtés n'est pas un triangle rectangle.

Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.

Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu'il a la plus grande longueur. $J L 2 = 49$
$J M 2 + M L 2 = 16 + 36 = 52$

Si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme il ne le sont pas, le triangle JML n'est pas rectangle.

On peut expliquer cette technique en énonçant la contraposée du théorème de Pythagore

Liens utiles

sur le site des Mathématiques Magiques :

Des animations, des trucs : les vasques ; la corde égyptienne.
Des puzzles illustrant le théorème de Pythagore : Puzzle de Périgal ; puzzle de Bhaskara ; puzzle de Qurra ; puzzle à quatre pièces.

Des activités et exercices sur le théorème de Pythagore :

MathenPoche.

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque

Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée. On peut se poser la question suivante : "Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles ?". La réponse est oui et cette propriété est appelée "réciproque du théorème de Pythagore".

Théorème :Si un triangle ABC vérifie la relation :

A B 2 = A C 2 + B C 2

alors, c'est un triangle rectangle en C.

Application

La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.

Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c'est le plus grand.

$D E 2 = 17 2 = 289$
$E F 2 + D F 2 = 225 + 64 = 289$

Les deux expressions sont égales, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.

Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le théorème

Théorème : Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse

Dans la pratique, quand le triangle est rectangle, il n'est donc pas nécessaire de tracer deux médiatrices pour localiser le centre du cercle circonscrit.

Conséquence sur la médiane

Propriété : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés

Théorème :Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des côtés de ce triangle est le diamêtre de ce cercle, alors le triangle est rectangle

Ce théorème peut également être formulé ainsi :

Propriété :Si on joint à la règle un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre de ce cercle alors le triangle ainsi formé est un triangle rectangle en ce point.

CMC/4ème/Triangle rectangle

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Sections

Vocabulaire dans le triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Le théorème

Si vous n'avez jamais entendu parler du carré d'un nombre (par exemple à propos de l'aire d'un disque en cinquième) : une petite mise au point s'impose

Applications

1er exemple : on connait les longueurs des deux côtés de l'angle droit

2ème exemple : on connaît les longueurs d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse

Racine carrée

Exemple

Faites des exercices de calcul de racines carrées à la calculatrice

Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle

On peut expliquer cette technique en énonçant la contraposée du théorème de Pythagore

Liens utiles

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque

Application

Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le théorème

Conséquence sur la médiane

Triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés

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