CMC/4ème/Triangles et parallèles
Un livre de Wikibooks.
Le contenu que vous recherchez a été déplacé vers la Wikiversité. Il devrait être disponible sous le nom Triangles et parallèles.
Les nouveaux programmes en 6ème (2005), 5ème(2006). Les futurs programmes en 4ème(2007).
Remarque : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.
Sections |
Droite des milieux
Théorème : La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
Exemple
|
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles. |
 |
Solution
On a 
donc I est le milieu de [AB];de même 
donc J est le milieu de [AC] ; d'après le théorème direct des milieux (IJ) est parallèle à (BC)
Faites des exercices sur le théorème direct des milieux
Théorème réciproque des milieux
Théorème : La droite qui passe par le milieu d'un côté d'un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.
Exemple
|
Dans la figure ci-contre, on sait que :
Démontrer que J est le milieu de [AC]. |
|
Démonstration
On a donc I est le milieu de [AB]
de plus (IJ) et (BC) sont parallèles
donc d'après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC]
Faites des exercices sur la réciproque du théorème des milieux
Propriété métrique des milieux
Propriété : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3ème côté
Exemple 1
|
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
Combien vaut IJ ? Justifier. |
|
Solution
On a donc I est le milieu de [AB];de même donc J est le milieu de [AC] ; d'après la propriété métrique des milieux : 
Exemple 2
|
Dans la figure ci-contre, on sait que :
Combien vaut IJ ? Justifier. |
|
Démonstration
On a donc I est le milieu de [AB]
de plus (IJ) et (BC) sont parallèles
donc d'après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC]
d'après la propriété métrique des milieux, on a donc :
Faites des exercices sur la propriété métrique des milieux
Le théorème direct de Thalès
|
Si, dans la figure suivante, les droites (DE) et (BC) sont parallèles
|
alors il y a proportionnalité dans le tableau :
|
Exemple
Si AB = 5 cm, AD = 2 cm et AE = 3 cm. Calculer AC.
il y a proportionnalité dans le tableau :
| Petites Longueurs | AD = 2 | AE = 3 | DE |
| Grandes Longueurs | AB = 5 | AC = ? | BC |
le coefficient de proportionnalité est : 
donc 
Exercices
Faites des exercices sur le théorème de Thalès
Remarques
- Il faut que le point pivot A apparaisse 4 fois dans les deux premières colonnes du tableau.
Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d'utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.
- On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs, notamment si vous n'avez pas encore vu la proportionnalité.
- Peut-être êtes-vous intéressé par une démonstration du théorème de Thalès ?
Liens externes
Trois sites où l'on trouve des exercices interractifs et des animations sur le Théorème des milieux.
Article de wikipédia, avec une démonstration :
