Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Dérivée covariante

La dérivée covariante, définie par

$f_{;i}=f_{,i}$

$a^{j}{}_{;i}=a^{j}{}_{,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}$

$a_{k;i}=a_{k,i}-\Gamma _{ki}^{n}a_{n}$

$a^{j}{}_{k;i}=a^{j}{}_{k,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}{}_{k}-\Gamma _{ki}^{n}a^{j}{}_{n}$

etc. est un tenseur. La présence des symboles de Christoffel permet d'anihiler le jacobien dans la formule de transformation de la dérivée virgule.