Calcul tensoriel/Objectifs du livre

Ce wikibook sur le calcul tensoriel est destiné au lecteur qui a déjà quelques notions d'analyse, notamment par la connaissance des opérateurs différentiels usuels : gradient, divergence, rotationnel et laplacien. Ces opérateurs différentiels auront probablement jusqu'ici été définis au travers de formules valables uniquement dans un système orthonormé de coordonnées, peut-être parfois dans le système de coordonnées sphériques. Par exemple, en coordonnées orthonormées, la divergence aura été définie par la formule $\nabla \cdot \mathbf {E} =\partial _{x}E_{x}+\partial _{y}E_{y}+\partial _{z}E_{z}$.

Mais le champ scalaire $\nabla \cdot \mathbf {E}$, dérivé du champ vectoriel $\mathbf {E}$, a une signification physique indépendante du système de coordonnés choisi pour mesurer l'espace. Le calcul tensoriel est un outil qui permet d'écrire de manière simple, rigoureuse et uniforme les formules des opérateurs différentiels dans un système de coordonnées quelconque. Lorsqu'il retrouvera aisément les formules classiques dans le système cylindrique ou dans le système sphérique, le lecteur sera probablement convaincu de l'intérêt du calcul tensoriel !

Lorsque le lecteur travaillera facilement dans l'espace bidimensionnel ou tridimensionnel avec des tenseurs métriques divers et variés, il ne verra pas de difficulté à mesurer l'espace-temps de la relativité restreinte. Dans cet espace quadridimensionnel, les équations de Maxwell prennent une forme particulièrement simple. Ainsi les deux équations $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ et $\nabla \times \mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {B}$ impliquant une divergence tridimensionnelle, un rotationnel et une dérivée partielle par rapport au temps se résument à une unique équation de Gauss quadridimensionnelle.

La notion de géodésique dans l'espace-temps permettra au lecteur de retrouver les formules classiques d'accélération centrifuge et accélération de Coriolis dans un référentiel tournant.

Le lecteur pourra aborder les espaces courbes en commençant par un espace à deux dimensions, la sphère.

Sans concept supplémentaire, le lecteur pourra calculer pour n'importe quelle métrique la courbure de l'espace-temps. Il verra qu'il est facile de construire à partir de la courbure un tenseur symétrique, le tenseur d'Einstein, dont la divergence quadridimensionnelle est nulle. Il est tentant d'identifier ce tenseur avec un autre tenseur symétrique de divergence nulle, qui décrit l'énergie et la quantité de mouvement des particules et des champs. Le faire, c'est écrire l'équation fondamentale de la relativité générale et comprendre la gravitation.