Calcul écrit/Calcul de la racine n-ième d'un nombre

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Ma méthode pour calculer la N^iémeracine d'un nombre dérive du boulier (mais il n'est pas nécessaire d'avoir un boulier ni de savoir comment ça marche pour la mettre en pratique) elle est donc presque uniquement basée sur des additions et des soustractions.
(Pour la petite histoire j'avais passée toute une nuit a tenter de généraliser la méthode à partir de l'extraction des racines carrées et cubiques que je connaissait pour le boulier, et c'est lorsque le premier rayon de Soleil a traversée la vitre que la lumière fut ! Qui n'a pas connu l'ivresse des équations diophantienne à 4h du mat' ne peut pas comprendre !!!)

Pour calculer $\sqrt[n]{x}$ on va faire un tableau de N colonnes. Le calcul se fera de gauche à droite puis de bas en haut. Les colonnes seront nommé R1,R2,R3 etc jusqu'à R(N - 1) et la dernière sera T. T pour "tranche" , T se sera les tranches en cours car x sera découpé en tranche de N chiffres à partir de la droite ou de la virgule , ex :

$\sqrt[4]{160041}\longrightarrow 16|0041$
$\sqrt[3]{543987321}\longrightarrow 543|987|321$
$\sqrt[2]{431.2245}\longrightarrow 4|31|22|45$

Comme pour la division on abaissera d'abord la tranche la plus à gauche puis celle à sa droite et ainsi de suite.
Le nombre de tranche nous renseigne déjà sur le nombre de chiffre qu'aura la réponse (la solution de $\scriptstyle{\sqrt[3]{543987321}}$ aura 3 chiffres avant la virgule car il y a 3 tranches avant la virgule).
Chaque tranche va subir un certain nombre de soustraction avant que soit descendu la prochaine.
Laissons de coté, pour l'instant, les changement de tranche !

Sur R1,R2 etc vont s'enchainer une suite d'addition en forme d'escalier à l'envers (voir l'exemple).
A chaque nouvelle ligne on ajoutera +1 au nombre de R1.
On commence donc et l'on met +1 en R1, ensuite R1 va venir s'ajouter à R2 (0+1=1!), qui lui ira s'ajouter à R3 et ainsi de suite jusqu'à R(N - 1) qui lui ira se soustraire à T.
On démarre la seconde ligne en ajoutant +1 dans R1 (donc=2), R1 s'ajoute à R2 (1+2=3) qui s'ajoute à R3 etc jusqu'à R(N - 1) qui cette fois ne viens pas se soustraire à T.
On démarre la ligne3 en ajoutant +1 à R1 qui vient s'ajouter à R2 etc jusqu'à R(N - 2). Pareil pour la ligne 4 mais jusqu'à R(N - 3) , jusqu'à R(N - 4) pour la ligne 5 etc ...
Et les lignes s'enchainent ainsi en se raccourcissant jusqu'à ce que R1 prenne son +1 sans aller s'ajouter à R2.
Lorsque l'on a fini le première "escalier" on en redémarre un autre avec toujours les derniers chiffres des colonnes auquel viennent s'ajouter les R1 dans les R2 etc (voir l'exemple).
Donc en dehors de la colonne R1 (qui prend +1 à chaque ligne) et de T, vous pourrez constater sur l'exemple que chaque chiffre est la somme du chiffre qui est au-dessus de lui et de celui qui est à sa gauche.
La première marche de l'escalier est toujours la plus grande c'est celle qui va jusqu'à la soustraction de R(N - 1) a T.
On continu ce manège jusqu'à ce que T soit inférieur à R(N-1) (donc la soustraction serait négative!) au quelle cas il faut descendre une nouvelle tranche. Mais on verra ça plus tard ! Intéressons nous d'abord au cas n'ayant qu'une seul tranche et tombant juste.

Ex $:\qquad \sqrt[5]{1024}$

R1 R2 R3 R4 T ( 1024 )
$1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 1023$ ( = 1024 - 1 )
$2\quad_{(+)}\longrightarrow3\quad_{(+)}\longrightarrow4\quad_{(+)}\longrightarrow5$
$3\quad_{(+)}\longrightarrow6\quad_{(+)}\longrightarrow10$
$4\quad_{(+)}\longrightarrow10$
$5 \$
$6\quad_{(+)}\longrightarrow16\quad_{(+)}\longrightarrow26\quad_{(+)}\longrightarrow31\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 992$ ( = 1023 - 31 )
$7\quad_{(+)}\longrightarrow23\quad_{(+)}\longrightarrow49\quad_{(+)}\longrightarrow80$
$8\quad_{(+)}\longrightarrow31\quad_{(+)}\longrightarrow80$
$9\quad_{(+)}\longrightarrow40$
$10 \$
$11\quad_{(+)}\longrightarrow51\quad_{(+)}\longrightarrow131\quad_{(+)}\longrightarrow211\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 781$ ( = 992 - 221 )
$12\quad_{(+)}\longrightarrow63\quad_{(+)}\longrightarrow194\quad_{(+)}\longrightarrow405$
$13\quad_{(+)}\longrightarrow76\quad_{(+)}\longrightarrow270$
$14\quad_{(+)}\longrightarrow90$
$15 \$
$16\quad_{(+)}\longrightarrow106\quad_{(+)}\longrightarrow376\quad_{(+)}\longrightarrow781\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$ ( = 781 - 781 )

Maintenant il y a deux manière de voir le résultat.
Soit on prend le dernier R1 (appelons le R ) et l'on fait : ${\frac {R+N-1}{N}}$
donc ici $\textstyle{\frac{16+5-1}{5}=\frac{20}{5}=4;\quad 4^5=1024}$ c'est bien ça !
Soit on compte combien de soustraction a dû subir la tranche, ici 4.

Remarque: Si l'on avait dû baisser une seconde tranche et que celle ci avait dû subir 2 soustraction la réponse aurait était 42, 4 soustraction pour la 1° tranche et 2 pour la 2° ! Cela veut dire aussi qu'un calcul dont la réponse serait 9 sera souvent plus long a effectuer que si c'était 2222 ( 9 escalier contre 8 !!! ) .

Encore un exemple avant de passer au plusieurs tranche :
Ex $:\qquad \sqrt[4]{16}$

R1 R2 R3 T ( 16 )
$1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 15$ ( = 16 - 1 )
$2\quad_{(+)}\longrightarrow3\quad_{(+)}\longrightarrow4$
$3\quad_{(+)}\longrightarrow6$
$4 \$
$5\quad_{(+)}\longrightarrow11\quad_{(+)}\longrightarrow15\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$ ( = 15 - 15 )

Donc avec R (le dernier R1) : $\textstyle{\frac{R+N-1}{N}=\frac{5+4-1}{4}=2\qquad 2^4=16}$

Le passage d'une tranche à l'autre est un peu plus délicat (à peine !), il s'effectue lorsque R(N - 1) est devenu supérieur à T.
Il faut tout d'abord finir l'escalier qui précède cette situation embêtante SAUF la dernière ligne, celle où R1 était seul sans s'ajouter à R2.
Si l'on a poursuivi le calcul jusqu'à cette fameuse soustraction impossible il suffit de barrer cette dernière ligne et la dernière petite marche juste au-dessus.
Mais le plus souvent on s'aperçoit que ça ne "passera plus" avant, alors on termine l'escalier en cour SAUF la dernière petite marche (voir l'exemple) !
Ensuite on multiplie R1 par 10, R2 par 100, R3 par 1000 bref tout les R(N) par 10^N et l'on abaisse la tranche suivante en T ( ! ATTENTION !cette ligne n'a eu aucune addition ou soustraction !) .
Enfin on redémarre un escalier mais exceptionnellement on ajoute +11 à R1 au lieu du +1 habituel, R1 s'ajoute à R2 qui s'ajoute à R3...etc et R(N - 1) se soustrait à T.

Et tout reprend comme avant ...

Ex $:\qquad \sqrt[3]{10648}$

R1 R2 T ( 10 | 648 )
$1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad9$ ( = 10 - 1 )
$2\quad_{(+)}\longrightarrow3$
$3 \$
$4\quad_{(+)}\longrightarrow7\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad2$ ( 7 > 2 , là on vois que ça ne passera plus !)
$5\quad_{(+)}\longrightarrow12$ (On fini l'escalier SAUF ...!)
$50\qquad .\qquad 1200\qquad .\qquad \quad2648$ (on multipli et abaisse la nouvelle tranche )
$_{+11}61_{(+)}\longrightarrow1261_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\quad 1367$
$62\quad_{(+)}\longrightarrow1323$
$63 \$
$64\quad_{(+)}\longrightarrow1387\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$

Donc : $\textstyle{\frac{64+3-1}{3}=22\; ;\quad 22^3=10648 }$

Autre exemple ...

Ex $:\qquad \sqrt[4]{10617447681}$

R1 R2 R3 T ( 106 | 1744 | 7681 )
$1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 105$ ( = 106 - 1 )
$2\quad_{(+)}\longrightarrow3\quad_{(+)}\longrightarrow4$
$3\quad_{(+)}\longrightarrow6$
$4 \$
$5\quad_{(+)}\longrightarrow11\quad_{(+)}\longrightarrow15\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 90$
$6\quad_{(+)}\longrightarrow17\quad_{(+)}\longrightarrow32$
$7\quad_{(+)}\longrightarrow24$
$8 \$
$9\quad_{(+)}\longrightarrow33\quad_{(+)}\longrightarrow65\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 25$ ( 65 > 25 ...ça passera plus !...)
$10\quad_{(+)}\longrightarrow43\quad_{(+)}\longrightarrow108$ (On fini l'escalier SAUF ...!)
$11\quad_{(+)}\longrightarrow54$
$110\qquad .\qquad 5400\qquad .\qquad108000\qquad . \qquad 251744$ (on multipli et abaisse la nouvelle tranche )
$_{+11}121\,_{(+)}\longrightarrow5521\quad_{(+)}\longrightarrow113521\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 138223$
$122\quad_{(+)}\longrightarrow5643\quad_{(+)}\longrightarrow119164$
$123\quad_{(+)}\longrightarrow5766$
$124 \$
$125\quad_{(+)}\longrightarrow5891\quad_{(+)}\longrightarrow125055\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 13168$ ( 125055 > 13168...ça passera plus !...)
$126\quad_{(+)}\longrightarrow6017\quad_{(+)}\longrightarrow131072$ (On fini l'escalier SAUF ...!)
$127\quad_{(+)}\longrightarrow6144$
$1270\qquad .\qquad 614400\qquad .\qquad131072000\qquad . \qquad 131687681$ (on multipli et abaisse la nouvelle tranche )
$_{+11}1281\,_{(+)}\longrightarrow615681\quad_{(+)}\longrightarrow131687681\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$

Donc : $\textstyle{\frac{1281+4-1}{4}=321\; ;\quad 321^4=10617447681 }$

ATTENTION ! les +11 sont spécifique au changement de tranche, ils suivent les multiplications, ensuite R1 reprend son +1 à chaque lignes comme avant .

Cependant il peut arriver (1 fois sur 10) que même aprés avoir descendus une nouvelle tranche la soustraction reste négative, il va alors faloir descendre une nouvelle tranche ( cela correspond en faite au chiffre zéro dans la solution ).
Il faut alors supprimer la derniére ligne celle où R1 avait pris +11 ; on garde celle où les R(N) était multiplié par 10^N et on remultiplie à nouveau les R(N) par 10^N et l'on abaisse une nouvelle tranche. Le plus souvent on s'apercevra que ça ne "passera plus" avant de commencé la ligne du +11 (inutile de calculer se que l'on va barré ! On remultiplie direct !). Cette fois ci on ajoute +101 à R1 au lieu de +11 avant de prolongé la ligne.
Si cela ne suffit toujours pas à rendre R(N - 1) supérieur à T on supprime la ligne du +101, on remultipli de nouveau les R(N) par 10^N, on abaisse encore une tranche et on essai avec +1001... +10001 pour le prochain essai, +100001, +1000001, +10000001 ...etc!!!...

Ex $:\qquad \sqrt[4]{104060401}$

R1 R2 R3 T ( 1 | 0406 | 0401 )
$1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$ (...ça passera plus !...)
$2\quad_{(+)}\longrightarrow3\quad_{(+)}\longrightarrow4$
$3\quad_{(+)}\longrightarrow6$
$30\qquad .\qquad 600\qquad .\qquad4000\qquad . \qquad 406$ (la nouvelle tranche n'est pas suffisante !)
$300\qquad .\qquad 60000\qquad .\qquad4000000\qquad . \qquad 4060401$ (on remultipli et remet une tranche!)
$_{+101}401\,_{(+)}\longrightarrow60401\quad_{(+)}\longrightarrow4060401\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0$

Donc : $\textstyle{\frac{401+4-1}{4}=101\; ;\quad 101^4=104060401 }$

Remarque :La tranche "0406" n'a subi aucune soustraction d'où le zero !

Bon à partir de maintenant je vais arreter de noter (+) et (-) avant les fléches.

Autre exemple...

Ex $:\qquad \sqrt[3]{1003003001}$

R1 R2 T ( 1 | 003 | 003 | 001 )
$1\qquad\longrightarrow\ 1\quad\Rightarrow\Rightarrow\quad \qquad0$
$2\qquad\longrightarrow\ 3$
$20\qquad \ . \qquad 300\qquad .\qquad \ \quad3$ (...pas suffisant !)
$200\qquad .\qquad \ 30000\qquad .\quad3003$ (...toujours pas !)
$2000\qquad .\quad \quad3000000\qquad . \;3003001$ ( Là peut'être !)
$_{+1001}3001\longrightarrow3003001\Rightarrow\Rightarrow\quad 0$

Donc : $\textstyle{\frac{3001+3-1}{3}=1001\; ;\quad 1001^3=1003003001 }$

Voyont maintenant quelques cas particulier...

Ex $:\qquad \sqrt[5]{3200000}$

R1 R2 R3 R4 T ( 32 | 00000 )
$1\ \longrightarrow\ 1\ \longrightarrow\ 1\ \longrightarrow\ 1\ \Rightarrow\quad 31$
$2\ \longrightarrow\ 3\ \longrightarrow\ 4\ \longrightarrow\ 5$
$3\ \longrightarrow\ 6\ \longrightarrow\ 10$
$4\ \longrightarrow\ 10$
$5 \$
$6\ \longrightarrow\ 16\ \longrightarrow\ 26\ \longrightarrow\ 31\ \Rightarrow\quad 0$

ATTENTION ! Il reste une tranche ! Vide mais une tranche quand même !!! Mais finir l'escalier, multiplier et baisser la tranche vide nous conduirez à une erreur !

Dans ces cas là on panique pas ... suffit de multiplier le résultat final par 10 :
$\textstyle{10 \frac{6+5-1}{5} = \frac{100}{5} =20\ ;\quad 20^5=3200000}$
De la même maniére $\scriptstyle{\sqrt[5]{320000000000}}$ nous laisserez deux tranches vide donc $\textstyle{100 \frac{6+5-1}{5} = 200\ ;\quad 200^5=320000000000}$
Inversement, pour un gain de temps on peut dans $\scriptstyle{\sqrt[5]{0.00032}}$ abaisser imédiatement la tranche aprés la virgule à condition de ne pas oublier de diviser le resultat final par 10 :
$\textstyle{\frac{6+5-1}{5*10} = 0.2\ ;\quad 0.2^5=0.00032}$

D'une maniére générale il vaut mieux voir à l'avance si il ya moyen de se simplifier la tache avec se genre de multiplication ou de division.

Je suis sure que tu vois maintenant commen on va se débrouiller avec les decimaux !

Ex $:\qquad \sqrt[3]{1.061208}$