Calcul scientifique/Resolution de problème avec condition initiale
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[modifier] Problème de Cauchy
On parle de problème de Cauchy si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)
[modifier] Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif
Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer un + 1 en fonction de un explicitement : 
[modifier] Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde
Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car un + 1 est défini implicitement en fonction de un : 
En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.
[modifier] Méthode de Cranck-Nicolson
Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : ![u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_{n+1})]](http://upload.wikimedia.org/math/a/c/3/ac3f74a1cc6820c3795f9fcfcbd3478a.png)
[modifier] Méthode de Heun
Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite un + 1 comme dans la méthode d'Euler explicite :
![u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_n + h \cdot f(t_n , u_n) )]](http://upload.wikimedia.org/math/e/7/9/e796b112748fd243669f4db631b82e43.png)
