Calcul scientifique/Resolution de problème avec condition initiale

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Problème de Cauchy[modifier | modifier le wikitexte]

On parle de problème de Cauchy si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)

Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif[modifier | modifier le wikitexte]

Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer u_{n+1} en fonction de u_{n} explicitement : u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_n , u_n)

Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde[modifier | modifier le wikitexte]

Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car u_{n+1} est défini implicitement en fonction de u_{n} : u_{n+1} = u_n + h \cdot  f(t_{n+1} , u_{n+1})

En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.

Méthode de Cranck-Nicolson[modifier | modifier le wikitexte]

Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_{n+1})]

Méthode de Heun[modifier | modifier le wikitexte]

Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite u_{n+1} comme dans la méthode d'Euler explicite u_{n+1} = u_n + h \cdot  f(t_n , u_n)  :

u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot  [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_n + h \cdot  f(t_n , u_n)  )]