Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant I

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[modifier] Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan t',x',y', construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire ω. La transformation s'écrit

\begin{matrix} t' &=& t \\ x' &=& x \cos \omega t - y \sin \omega t \\ y' &=& x \sin \omega t + y \cos \omega t \end{matrix}

[modifier] Jacobien

\begin{matrix} \theta^{t'}_{t} &=& \frac{\partial t'}{\partial t} &=& 1 \\ \theta^{x'}_{t} &=& \frac{\partial x'}{\partial t} &=& - \omega x \sin \omega t - \omega y \cos \omega t \\ \theta^{x'}_{x} &=& \frac{\partial x'}{\partial x} &=& \cos \omega t \\ \theta^{x'}_{y} &=& \frac{\partial x'}{\partial y} &=& - \sin \omega t \\ \theta^{y'}_{t} &=& \frac{\partial y'}{\partial t} &=& \omega x \cos \omega t - \omega y \sin \omega t \\ \theta^{y'}_{x} &=& \frac{\partial y'}{\partial x} &=& \sin \omega t \\ \theta^{y'}_{y} &=& \frac{\partial y'}{\partial y} &=& \cos \omega t \\ \end{matrix}

[modifier] Tenseur métrique

De la relation − c2dt'2 + dx'2 + dy'2 = gijdxidxj est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

\begin{matrix} g_{tt} &=& -c^2 + \omega^2 \left(x^2 + y^2\right) \\ g_{tx} = g_{xt} &=& -\omega y \\ g_{ty} = g_{yt} &=& \omega x \\ g_{xx} &=& 1 \\ g_{yy} &=& 1 \end{matrix}

La formule g_{ij} = g'_{kl} \theta^k_i \theta^l_j avec gtt = − c2,gxx = 1,gyy = 1, conduit au même résultat.

[modifier] Déterminant du tenseur métrique

detg = − c2

[modifier] Matrice inverse du tenseur métrique

\begin{matrix} g^{tt} &=& -c^{-2}\\ g^{tx} = g^{xt} &=& - c^{-2} \omega y \\ g^{ty} = g^{yt} &=& c^{-2} \omega x \\ g^{xy} = g^{yx} &=& c^{-2} \omega^2 x y \\ g^{xx} &=& 1 - c^{-2} \omega^2 y^2 \\ g^{yy} &=& 1 - c^{-2} \omega^2 x^2 \end{matrix}

[modifier] Dérivées partielles du tenseur métrique

\begin{matrix} g_{tt,x} &=& 2 \omega^2 x \\ g_{tt,y} &=& 2 \omega^2 y \\ g_{tx,y} = g_{xt,y} &=& -\omega \\ g_{ty,x} = g_{yt,x} &=& \omega \end{matrix}

[modifier] Symbole de Christoffel

\begin{matrix} \Gamma_{t|tx} = \Gamma_{t|xt} &=& \omega^2 x \\ \Gamma_{x|tt} = &=& - \omega^2 x \\ \Gamma_{t|ty} = \Gamma_{t|yt} &=& \omega^2 y \\ \Gamma_{y|tt} &=& - \omega^2 y \\ \Gamma_{x|ty} = \Gamma_{x|yt} &=& - \omega \\ \Gamma_{y|tx} = \Gamma_{y|xt} &=& \omega \\ \end{matrix}
\begin{matrix} \Gamma^x_{tt} &=& - \omega^2 x \\ \Gamma^y_{tt} &=& - \omega^2 y \\ \Gamma^x_{ty} = \Gamma^x_{yt} &=& -\omega \\ \Gamma^y_{tx} = \Gamma^y_{xt} &=& \omega \end{matrix}

[modifier] Équation géodésique

\begin{matrix} \ddot{x} &=& \omega^2 x \dot{t}^2 + 2 \omega \dot{y} \dot t\\ \ddot{y} &=& \omega^2 y \dot{t}^2 - 2 \omega \dot{x} \dot t \end{matrix}

Pour les vitesses petites devant la vitesse de la lumière, on a ds^2 \approx -c^2 dt^2 et on peut écrire

\begin{matrix} \frac{d^2x }{dt^2} &\approx& \omega^2 x + 2 \omega \dot{y}\\ \frac{d^2 y}{dt^2} &\approx& \omega^2 y - 2 \omega \dot{x} \end{matrix}

On retrouve les termes classiques d'accélération centrifuge et d'accélération de Coriolis.

[modifier] Tenseur de courbure

Nul. Le calcul peut se faire à partir de la formule ou plus simplement en remarquant que le tenseur de courbure de l'espace pseudo-euclidien de métrique constante \mathrm{Diag}\left(-c^2, 1, 1\right) est nul, et reste nul dans toute autre système de coordonnées.

[modifier] Tenseur de Ricci

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[modifier] Scalaire de Ricci

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