Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel

Un livre de Wikibooks.

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :

\Gamma^{k}_{ij} = \left(\partial_i \mathbf{e}_j\right) \mathbf{e}^k = \mathbf{e}_{j,i} \mathbf{e}^k

Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire \Gamma^{k}_{ij} = \left(\partial_i \partial_j \mathrm{l}\right) \mathbf{e}^k pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :

\Gamma^{k}_{ij} = \Gamma^{k}_{ji}

  • Remarques
    1. Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
    2. Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole \Gamma_{l|ij} = g_{lk} \Gamma^{k}_{ij}
    3. Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.
Récupérée de « http://fr.wikibooks.org/wiki/Calcul_tensoriel/Notions_%C3%A9l%C3%A9mentaires/Symbole_de_Christoffel »