Exercices de mathématiques/Calculs de dérivées

Exercices de mathématiques Sommaire

Le calcul de dérivées s'étend de la première jusque dans le supérieur. Pour les étudiants québécois ; ces exercices font référence à un niveau collégial, c'est-à-dire le premier cours de calcul au CÉGEP.

Les exercices présentés ici sont groupés par ordre d'accessibilité. Certains exercices auront une solution complète et d'autres auront une solution plus brève, tout dépendant. Par contre, chaque étape de la solution sera justifiée, du moins entre parenthèses à droite de l'étape en question.

Il est à noter également que pour la plupart des problèmes, au lieu de spécifier à chaque fois la formule de dérivation utilisée, nous préciserons un numéro de formule, correspondant à la table établie sur cette page.

Également, nous utiliserons autant la notion $f(x)$ et $f'(x)$ que $y$ et $y'$, pour familiariser le lecteur à toutes les situations.

Dérivées de fonctions polynômiales

• Exercice 1

$f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 2x - 5\,$. Calculer $f '(x)\,$.

Solution

f est une fonction polynôme donc est dérivable sur $\R$.

Formules utilisés :

• $(k\times u)'= k\times u'$
• $(u+v)'= u'+ v'\,$
• si $u(x) = x^n\,$ alors $u'(x) = nx^{n-1}\,$
• Si u est constante alors $u'$ est nulle.

$f'(x) = 3\times 4x^3 - 5\times 3x^2 + 4\times 2x + 2$

$f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 8x + 2\,$

• Exercice 2

$f(x)=(2x^2+3)^2(4x-9)\,$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

$f(x)=(2x^2+3)^2(4x-9)\,$ (fonction originale)

$f(x)=(4x^4+12x^2+9)(4x-9)\,$ (transformation algébrique)

$f'(x)=(4x^4+12x^2+9)'(4x-9)+(4x^4+12x^2+9)(4x-9)'\,$ (formule 6)

$f'(x)=(16x^3+24x)(4x-9)+(4x^4+12x^2+9)\times 4\,$ (formules 1, 2, 3, 4 et 5)

$f'(x)=64x^4+96x^2-144x^3-216x+16x^4+48x^2+36\,$ (distribution)

$f'(x)=80x^4-144x^3+144x^2-216x+36\,$ (simplification)

rem : Une dérivation plus astucieuse permet de trouver une forme factorisée de f'

$f'(x) = 2(2x^2+3)(4x)(4x-9)+ (2x^2+3)^2\times 4\,$ (formules 6, 3A, et 1, 2, 3, 4, 5)

$f'(x) = (2x^2+3)(32x^2 -72x + 8x^2 + 12)\,$ (factorisation)

$f'(x) = (2x^2+3)(40x^2 - 72x + 12)\,$

$f'(x) = 4(2x^2+3)(10x^2 - 18x + 3)\,$

• Exercice 3

$y=(x^2+8)(x+5)\,$. Calculer $y'\,$.

Solution

$y=(x^2+8)(x+5)$ (fonction originale)

$y'=(x^2+8)(x+5)'+(x^2+8)'(x+5)$ (formule 6)

$y'=(x^2+8)\times 1+(x+5)\times 2x$ (formules 5, 2, 1 et 3)

$y'=x^2+8+2x^2+10x$ (simplification)

$y'=3x^2+10x+8$ (simplification)

• Exercice 4

$f(x) = (3x+1)^7(1-2x)^3\,$ . Calculer $f'(x)\,$.

Solution

Formules utilisées :

• $(uv)' = u'v + uv'$
• ($u^n)' = nu^{n-1}u'$

f est dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme.

$f'(x) = 7(3x+1)^6.3.(1-2x)^3 + (3x+1)^7.3.(1-2x)^2.(-2)\,$

$f'(x) = (3x+1)^6(1-2x)^2(21 - 42x - 18x - 6)\,$ (factorisation)

$f'(x) = (3x+1)^6(1-2x)^2(15-60x)\,$ (simplification)

$f'(x) = 3(5-20x)(1-2x)^2(3x+1)^6\,$

• Exercice 4 (bis)

L'exercice précédent se décline à l'infini en changeant les fonctions affines et les exposants.

Montrer que si $f(x) = (ax+b)^n(cx+d)^m\,$ alors $f'(x) = ac(n+m)(ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1} (x - r)\,$ où r est la moyenne pondérée des racines de $ax+b$ et $cx + d$ affectées des coefficients m et n.

Solution

Mêmes formules utilisées que précédemment

$f'(x) = an(ax+b)^{n-1}(cx+d)^m +cm (ax+b)^n(cx+d)^{m-1}\,$

$f'(x) = (ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1}(acnx + adn + acmx + bcm)\,$ (factorisation)

$f'(x) = (ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1}ac(n+m)(x + \frac{n}{n+m}\frac{d}{c} + \frac{m}{n+m}\frac{b}{a})$

Or $-b/a$ est la racine de $ax+b$ et $-d/c$ la racine de $cx+d$, enfin la moyenne pondérée r de $-b/a$ et $-d/c$ affectés de m et n est :

$r = \frac{m}{m+n}(-b/a) + \frac{n}{m+n}(-d/c)$

donc $f'(x) = (ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1}ac(n+m)(x - r)\,$

Dérivées de fonctions rationnelles

• Exercice 1

$f(x) = {3x-2 \over x + 5}$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition $\R - \{-5\}$.

Formule utilisée :

$\left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}$

u(x) = 3x - 2, u'(x) = 3, v(x) = x + 5, v'(x) = 1 donc

$f'(x) = {3(x+5)-1(3x-2)\over (x+5)^2}$

$f'(x) = {17\over (x+5)^2}$

• Exercice 1 (bis)

L'exercice précédent peut se développer à l'infini en changeant les coefficients du numérateur et du dénominateur

Prouver que si $f(x) = {ax+b \over cx + d}$ alors $f'(x) = {ad-bc \over (cx+d)^2}$.

Solution

f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition $\R - \{-d/c\}$.

Formule utilisée :

$\left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}$

u(x) = ax + b, u'(x) = a, v(x) = cx + d, v'(x) = c donc

$f'(x) = {a(cx+d)-c(ax+b)\over (cx+d)^2}$

$f'(x) = {ad-bc\over (cx+d)^2}$

• Exercice 2

$f(t)=16t^{-3}+4t^{-2}+15\,$. Calculer $f'(t)\,$.

Solution

$f(t)=16t^{-3}+4t^{-2}+15\,$ (fonction originale)

$f'(t)=(16t^{-3})'+(4t^{-2})'+15'\,$ (formule 5)

$f'(t)=-48t^{-4}-8t^{-3}+0\,$ (formules 3 et 4)

$f'(t)=\frac{-48}{t^4}-\frac{8}{t^3}\,$ (simplification)

• Exercice 3

$f(x) = {x^2+3x-5 \over x+1}$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

f est une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) donc elle est dérivable sur son ensemble de définition, ici $\R - \{-1\}$

Formule utilisée $\left({u \over v}\right)' = {u'v-uv' \over v^2}$

$u(x) = x^2+3x-5$ donc $u'(x) = 2x+3$

$v(x) = x + 1$ donc $v'(x) = 1$

$f'(x) = {(2x+3)(x+1) - (x^2 + 3x - 5) \over (x+1)^2}$

$f'(x) = {x^2 +2x + 8 \over (x+1)^2}$

• Exercice 3 (bis)

L'exercice précédent se décline à l'infini en modifiant le polynôme du second degré du numérateur et le polynôme du premier degré du dénominateur.

Montrer que, si la forme réduite de f est $f(x) = ax + b + {c\over x+d}$, alors $f'(x) = {a(x+d)^2 - c \over (x+d)^2}$

Solution

Formules utilisées

• $(u + v)' = u' + v'$, $(ku)' = ku'$
• $(1/u)' = - u'/u^2$

$f'(x) = a + \frac{-c}{(x+d)^2} = \frac{a(x+d)^2 - c}{(x+d)^2}$

Dérivées de fonctions avec racines

à faire..

Dérivées de fonctions trigonométriques

• Exercice 1 (Cegep)

$f(x)=\sec (3x^4-x+2)\,$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

$f(x)=\sec (3x^4-x+2)$ (fonction originale)

$f'(x)=[\sec (3x^4-x+2)][\tan (3x^4-x+2)](12x^3-1)$ (formule 14)

$f'(x)=(12x^3-1)\sec (3x^4-x+2)\tan (3x^4-x+2)$ (simplification)

• Exercice 2 (Cégep ou terminale)

$y=\tan^3 (3x)\,$. Calculer $y'\,$.

Solution

$y=\tan^3 (3x)$ (fonction originale)

$y'=3\tan^2 (3x)\times \sec^2 (3x)\times 3$ (formules 3, 4 et 12)

$y'=9\tan^2 (3x)\times \sec^2 (3x)$ (simplification)

remarque : sec = 1/cos

• Exercice 3 (Cégep ou terminale)

$f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin^2 (x+1)}\,$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

$f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin^2 (x+1)}$ (fonction originale)

$f'(x)=\frac{-2\sin (2x)\times \sin^2 (x+1)-2\sin (x+1)\cos (x+1)\times \cos (2x)}{sin^4 (x+1)}$ (formules 10 et 11)

$f'(x)=\frac{-2\sin (2x)\times \sin (x+1)-2\cos (2x)\times \cos(x+1)}{\sin^3 (x+1)}$ (simplification)

$f'(x)=\frac{-2\cos [2x-(x+1)]}{\sin^3 (x+1)}$ (simplification)

$f'(x)=\frac{-2\cos (x-1)}{\sin^3 (x+1)}$ (simplification)

Dérivées de fonctions logarithmiques et exponentielles

• Exercice 1 (Cégep ou terminale)

$f(x)=log_7 (x^3+x^2-1)\,$. Calculer $f'(x)\,$.

Solution

$f(x)=log_7 (x^3+x^2-1)$ (fonction originale)

$f'(x)=\frac{1}{x^3+x^2-1}\times log_7 e\times (3x^2+2x)$ (formule 22)

$f'(x)=\frac{3x^2+2x}{x^3+x^2-1}\times log_7 e$ (simplification)

• Exercice 2 (Cégep ou terminale)

$f(\theta)=3^{\theta^2-1}\,$. Calculer $f'(\theta)\,$.

Solution

$f(\theta)=3^{\theta^2-1}$ (fonction originale)

$f'(\theta)=3^{\theta^2-1}\times \ln 3\times (2\theta)$ (formule 24)

$f'(\theta)=2\ln 3\times \theta\times 3^{\theta^2-1}$ (simplification)

• Exercice 3 (Cégep ou terminale)

$y=e^x \ln x\,$. Calculer $y'\,$.

Solution

$y=e^x \ln x$ (fonction originale)

$y'=e^x\times \frac{1}{x}+e^x\times \ln x$ (formules 23 et 25)

$y'=e^x\left (\frac{1}{x}+\ln x\right)$ (simplification)

Autres dérivées

... à faire...