Cours de premier cycle universitaire (L1-L2)/Optique/Miroirs

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Ce chapitre fait partie du cours d'optique de la faculté de physique. On pourra aussi se référer au wikilivre d'optique.

Sections 1 Miroir plan 2 Miroirs sphériques 2.1 Centre et sommet 2.2 Stigmatisme approché, relation de conjugaison 2.3 Foyers 2.4 Distance focale 2.5 Construction des rayons 2.5.1 Trouver l'image d'un point 2.5.2 Trouver la façon dont un rayon est réfléchi 3 = Relations de conjugaison 3.1 Grandissement 4 Liens

[modifier] Miroir plan

Le type le plus simple de miroirs est le miroir plan. D'après les lois de Snell-Descartes, les rayons sont réfléchis de façon symétrique à la normale au plan (image de gauche ci-dessous). Que se passe-t-il si la source de lumière est un point (un objet A) ? Où est son image ? Sur le schéma ci-dessous (à droite), on remarque que les rayons ne se croisent pas après avoir été réfléchis, mais leurs prolongements se croisent de l'autre côté du miroir. On a donc une image virtuelle notée A' .

On peut remarquer que A et A' sont symétriques par rapport au miroir. Et étant donné que l'observateur ne peut voir qu'un petit faisceau de ces rayons, on peut choisir de ne représenter que celui-ci. C'est ce que l'on fait dans l'image suivante (à gauche) : on y a aussi rajouté un plus grand nombre de points objets formant une figure de flèche.

Les rayons parvenant à l'œil (4) semblent provenir de l'image virtuelle de la flèche qui est symétrique à l'objet réel. Cela explique pourquoi on voit, dans l'image de droite, une image virtuelle de la montagne sous le miroir formé par le lac.

[modifier] Miroirs sphériques

[modifier] Centre et sommet

Les miroirs sphériques sont des portions de calottes sphériques. Ils peuvent être concaves ou convexes. On note souvent C le centre de la sphère et R son rayon.

Dans le cas d'un système centré, on peut placer un miroir sphérique dont le centre est sur l'axe optique (on a ainsi la symétrie par révolution). L'intersection S entre le miroir et l'axe optique est appelé sommet du miroir.

La première chose que l'on peut remarquer est que l'image du centre est le centre, et l'image du sommet est le sommet. En effet, un rayon issu de C est réfléchi en direction de C, et tout rayon issu de S passe automatiquement par ce même point. Cela est illustré par les quatres images suivantes :

Centre d'un miroir concave.	Centre d'un miroir convexe.
Sommet d'un miroir concave.	Sommet d'un miroir convexe.

On voit donc que le stigmatisme est rigoureux pour le centre et le sommet, mais ce n'est pas le cas pour les autres points ! On va maintenant utiliser les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme approché.

[modifier] Stigmatisme approché, relation de conjugaison

On commence par étudier le cas d'un miroir concave. On considère un objet A et son image A' comme le montre l'image ci-contre. On veut alors que le système soit stigmatique, c'est-à-dire que quelque soit la position du point I, le rayon passe toujours par le même point A' . Comme on va le voir, les conditions de Gauss sont nécessaires.

Dans les triangles AIC et CIA' , les sommes des angles donnent respectivement : α + i + π − β = π et β + i + π − θ = π, ce que l'on peut réécrire par α + i = β et β + i = θ. En soustrayant ces deux relations, on obtient : α − β = β − θ d'où

.

D'autre part, on calcule les tangentes de ces trois angles :

, et .

Or lorsqu'on se place dans les conditions de Gauss les angles sont supposés petits. Ainsi on sait que (même chose pour β et θ). De plus, comme le point I est très proche de l'axe optique, on peut pratiquement assimiler H à S. Les relations précédentes deviennent donc :

, et .

Donc un utilisant la relation α + θ = 2 β, et en divisant le tout par , on obtient :

Relation de conjugaison d'un miroir sphérique

Cette relation permet de calculer la position de l'image à partir de la position de l'objet.

Cette relation est très importante car elle est aussi valable pour un miroir sphérique convexe.

On a donc effectivement montré que dans les conditions de Gauss, il y a un stigmatisme approché.

[modifier] Foyers

Foyer objet

Le foyer objet F d'un miroir sphérique est, par définition, le point de l'axe optique dont l'image est à l'infini, c'est-à-dire ou encore . Or le foyer vérifie la relation de conjugaison :

Le foyer objet d'un miroir est à équidistance du centre et du sommet.

Cela est illustré par les images suivantes dans le cas d'un miroir concave puis convexe.

On remarque effectivement que les rayons issus de F sont toujours renvoyés à l'infini (c'est la définition du foyer objet).

Foyer image

Le même raisonnement est applicable pour le foyer image F' . On obtient alors : ce qui est identique à la relation obtenue pour F.

Les foyers objet et image d'un miroir sphérique sont confondus.

[modifier] Distance focale

Définition

Pour un miroir sphérique, on définit : la distance focale objet , la distance focale image .

Les paragraphes précédents nous permettent donc d'écrire :

• pour un miroir concave,
• pour un miroir convexe.

[modifier] Construction des rayons

Pour tracer des rayons réfléchis par un miroir sphérique, on n'est pas obligé de calculer à chaque fois la relation de conjugaison. Il est possible d'effectuer ces tracés grâce à des règles simples que l'on va expliquer par la suite. Pour cela, on récapitule les différents rayons que l'on sait déjà tracer :

1. Le rayon se dirigeant vers le centre C est réfléchi dans la même direction (en bleu dans les schémas suivants).
2. Le rayon se dirigeant vers le sommet S est réfléchi de façon symétrique (en rouge dans les schémas suivants).
3. Le rayon se dirigeant vers le foyer objet F est réfléchi horizontalement (en vert dans les schémas suivants).

[modifier] Trouver l'image d'un point

On se pose ici la question suivante : comment trouver l'image A' d'un point A faite par un miroir sphérique ? Pour faire cela, il faut se rappeler que tous les rayons issus de A sont réfléchis en direction de A' . Mais on est pas obligés de tracer tous les rayons ! On se contentera des rayons bleu, rouge et vert définis plus haut.

Cas d'un miroir concave

1. On trace le rayon bleu qui va de A vers C et qui revient sur lui-même.
2. On trace le rayon rouge qui va de A vers S et qui revient symétriquement.
3. On trace le rayon vert qui va de A vers F et qui revient horizontalement.

Ces trois rayons se croisent en un point : on a trouvé l'image A'  !

Cas d'un miroir convexe

1. On trace le rayon bleu qui va de A vers C et qui revient sur lui-même.
2. On trace le rayon rouge qui va de A vers S et qui revient symétriquement.
3. On trace le rayon vert qui va de A vers F et qui revient horizontalement.

Les prolongements de ces trois rayons se croisent en un point : on a trouvé l'image A'  ! Mais attention, cette image A' est une image virtuelle.

Remarques

• Les schémas précédents utilisent des images réelles, mais on peut effectuer exactement la même chose avec des images virtuelles.
• On a tracé à chaque fois trois rayons différents, mais il faut garder à l'esprit que deux rayons suffisent.

[modifier] Trouver la façon dont un rayon est réfléchi

On suppose ici que l'on aie un rayon incident (en mauve) et que l'on cherche le rayon réfléchi. Pour ce faire, il faut se rappeler qu'un ensemble de rayons incidents parallèles entre eux sont réfléchis de façon à converger dans le plan focal image. On va alors imaginer des rayons fictifs parallèles au rayon incident.

Cas d'un miroir concave

1. On trace le rayon fictif bleu qui va vers C et qui revient sur lui-même.
2. On trace le rayon fictif rouge qui va S et qui revient symétriquement.
3. On trace le rayon fictif vert qui va vers F et qui revient horizontalement.

Ces trois rayons se croisent en un point A appartenant au plan focal image. On sait alors que la réflexion du rayon mauve passe par A. On a donc trouvé le rayon réfléchi !

Cas d'un miroir convexe

1. On trace le rayon fictif bleu qui va vers C et qui revient sur lui-même.
2. On trace le rayon fictif rouge qui va S et qui revient symétriquement.
3. On trace le rayon fictif vert qui va vers F et qui revient horizontalement.

Les prolongements de ces trois rayons se croisent en un point A appartenant au plan focal image. On sait alors que la réflexion du rayon mauve passe par A. On a donc trouvé le rayon réfléchi !

Remarque

On a tracé à chaque fois trois rayons différents, mais il faut garder à l'esprit qu'un seul rayon suffit.

[modifier] = Relations de conjugaison

[modifier] Grandissement

lorsque l'objet AB est linéaire et perpendiculaire à l'axe principale, son image A'B' a pr grandeur : A'B'= g.AB/soit g le grandissement

 g=A'B'/AB =CA'/CA 
 si g<1 : image<objet (grandeur)
 si g>1 : image >objet

 si g<0  image et objet dans le meme sens
    g>0  image et objet dans deux sens opposés

[modifier] Liens

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