Cours de premier cycle universitaire (L1-L2)/Optique/Notions de base d'optique géométrique

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Ce chapitre fait partie du cours d'optique de la faculté de physique. On pourra aussi se référer au wikilivre d'optique.

Il est important pour la suite du cours d'optique de maîtriser le cours présent, car il explique des notions indispensables à la compréhension des prochains chapitres.

[modifier] Le rayon lumineux

Coucher de soleil.

Un rayon lumineux est, mathématiquement, une ligne infiniment fine. On suppose alors que la lumière est composée d'une infinité de rayons ayant tous des formes différentes les uns par rapport aux autres. Ainsi un faisceau de lumière est un ensemble de rayons.

De nombreuses propriétés de ces rayons ont pu être observées. Par exemple sur la photographie ci-contre, il semble que la lumière émise par le soleil prenne la forme de rayons allant en ligne droite. Cette observation est en réalité assez générale : on a pu montrer que les rayons se propagent toujours en ligne droite dans un milieu homogène (un milieu identique en tout point). Cependant, dans les milieux non-homogènes, il est possible que les rayons soient déviés.

Dans les prochains paragraphes, nous nous attacherons à énoncer d'autres lois décrivant certains phénomènes connus.

[modifier] Outils de base

[modifier] Longueur d'onde

Lumière blanche traversant un prisme.

La lumière dispersée par un prisme fait apparaître différentes couleurs. La lumière blanche est donc composée d'une multitude de couleurs différentes. En optique ondulatoire on verra que ces couleurs sont caractérisées par une grandeur appelée longueur d'onde notée λ.

Exemples :

Pour une lumière bleue, λ = 450 nm
Pour une lumière rouge, λ = 700 nm

(nm est le symbole du nanomètre, c'est-à-dire 10^-9 mètres)

Comme le prisme ne dévie pas de la même façon chaque longueur d'onde, on peut en déduire que ses propriétés optiques dépendent de la longueur d'onde. Ainsi, pour faciliter les raisonnements, on va supposer que la lumière que l'on étudie n'est composée que d'une seule longueur d'onde. On dit alors qu'elle est monochromatique.

[modifier] Indice d'un milieu

Lorsqu'un rayon lumineux avance dans un certain milieu, il ne va pas à la même vitesse que s'il se déplaçait dans le vide. Cette propriété est exprimée par ce qu'on appelle l' indice optique du milieu ou plus simplement l'indice du milieu.

Définition

L'indice optique d'un milieu est définit par : $n=\frac{c}{v}$
où

c = 299 792 458 m/s est la vitesse de la lumière dans le vide
et v est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré.

On sait aussi que la lumière ne peut pas aller plus vite que lorsqu'elle est dans le vide. Autrement dit, v < c quel que soit le milieu. On en déduit donc que :

n > 1

Exemples :

dans l'eau à 20°C, n = 1,33
dans le verre, n = 1,53
dans l'air, n = 1,0003

[modifier] Chemin optique

Comme la vitesse de la lumière n'est pas la même selon les milieux, le temps de parcours d'une même longueur varie également. Pour exprimer cela mathématiquement, on introduit la notion de chemin optique.

Définition

Le chemin optique d'un rayon lumineux se déplaçant d'un point A à un point B est : $[AB] = c\int_A^Bdt$
où l'intégrale est effectuée sur le trajet du rayon.

L'intégrale correspond au temps de parcours. Donc le chemin optique est simplement une traduction d'un temps de parcours en distance. Il peut également s'écrire :

$[AB] = \int_A^Bnvdt$

Or on a vu dans le cours de mécanique que l'abscisse curviligne s'écrivait ds = v dt. On peut donc réécrire l'expression du chemin optique :

$[AB] = \int_A^Bnds$

Il faut alors retenir la résultat important suivant :

Dans un milieu homogène d'indice n, le chemin optique entre A et B vaut n AB.

En effet, dans un milieu homogène, la lumière va en ligne droite.

[modifier] Surface d'onde

Une onde sphérique

Supposons qu'une source de lumière envoie en même temps un grand nombre de rayons lumineux dans toutes les directions. Ils ne rencontreront pas tous les mêmes obstacles ou les mêmes milieux, donc la forme générale du faisceau va être modifiée petit à petit. On peut décrire cette déformation à l'aide des surfaces d'onde.

Définition

Une surface d'onde est l'ensemble des points situés à chemins optiques égaux depuis le point source.
Autrement dit, pour un point source O, une surface d'onde est l'ensemble des points M tels que [OM] soit constant.

Exemples

Si l'on se place dans un milieu homogène avec une seule source lumineuse ponctuelle, les rayons qui en partent seront tous rectilignes. Ils arrivent donc tous en même temps à une certaine distance r de la source. Ainsi les surfaces d'onde sont toutes des sphères. L'onde obtenue est appelée onde sphérique.

Si l'on place une lentille sur le trajet de l'onde sphérique précédente, l'onde que l'on obtient présente des surfaces d'ondes ayant la forme de plans. On parle alors d'onde plane.

[modifier] Principes de l'optique géométrique

D'après les observations des physiciens, des principes empiriques ont été formulés afin qu'il soit possible de déterminer les trajectoires des rayons lumineux.

Retour inverse de la lumière

Si un rayon lumineux peut parcourir une trajectoire dans un sens, alors il peut aussi la parcourir dans l'autre sens.

Principe de Fermat

Pour aller de A à B, tout rayon lumineux emprunte le trajet qui rend son temps de parcours (donc son chemin optique) extrémal.

Ce dernier principe est très important car il nous permettra de connaître la trajectoire de tout rayon de la manière suivante : d'abord on calcule le chemin optique de toute trajectoire reliant A et B en fonction d'un ou de plusieurs paramètres, puis on dérive le chemin optique par rapport à ces paramètres. Et le principe de Fermat impose à cette dérivée d'être nulle : on en déduit les seules trajectoires possibles.

Le cas le plus simple est celui de la trajectoire de la lumière dans le vide. Dans ce cas le chemin optique est égal à la distance parcourue, et donc le chemin que prend la lumière est le plus court, donc celui qui va en ligne droite de A à B. Le principe de Fermat est donc cohérent avec le fait que la lumière se propage en ligne droite dans le vide.

Nous allons utiliser le principe de Fermat dans le chapitre suivant pour démontrer des lois importantes en optique géométrique.

[modifier] Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d'un rayon lorsqu'il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notion suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :

le plan d'incidence est le plan perpendiculaire au dioptre et contenant le rayon incident.
L'angle d'incidence $θ$ est l'angle entre le rayon et la normale au dioptre.

Première loi de Snell-Descartes

Après la rencontre d'un dioptre, tout rayon reste dans le plan d'incidence.

[modifier] Loi de la réflexion

Tout ou partie de la lumière est susceptible d'être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C'est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.

Loi de la réflexion

Le rayon réfléchi est symétrique au rayon incident par rapport au plan d'incidence.
Sur le schéma ci-contre, cela veut dire que $θ 1 = θ 2$ .

On se propose de démontrer cette loi à partir du principe de Fermat. Pour cela, supposons que le rayon parte du point A de coordonnées $(x A, y A)$ au point B de coordonnées $(x B, y B)$ . Il passe par un point P situé sur le miroir de coordonnées (x , 0). On cherche à déterminer ce point P. La chemin optique parcouru est

$\begin{matrix} L &=&n\, AP + n\, PB\\ &=& n\frac{y_A}{\cos \theta_1} + n\frac{y_B}{\cos \theta_2} \end{matrix}$

où n est l'indice du milieu. Le principe de Fermat nous indique qu'il faut rendre L extrémal, c'est-à-dire qu'il faut que la dérivée de L par rapport à x s'annule :

$0 = \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial \theta_1}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \theta_1} + \frac{\partial \theta_2}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \theta_2}$

Or d'une part :

$\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = - n\, y_A \frac{\sin \theta_1}{\cos^2 \theta_1}$ et $\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = - n\, y_B \frac{\sin \theta_2}{\cos^2 \theta_2}$

et d'autre part :

$\frac{1}{\cos^2 \theta_1} \frac{\partial \theta_1}{\partial x} = \frac{\partial \tan \theta_1}{\partial x} = \frac{1}{y_A} \frac{\partial (x-x_A)}{\partial x} = \frac{1}{y_A} \rightarrow \frac{\partial \theta_1}{\partial x}= \frac{\cos^2 \theta_1}{y_A}$

et $\frac{1}{\cos^2 \theta_2} \frac{\partial \theta_2}{\partial x} = \frac{\partial \tan \theta_2}{\partial x} = \frac{1}{y_B} \frac{\partial (x_B-x)}{\partial x} = -\frac{1}{y_B} \rightarrow \frac{\partial \theta_2}{\partial x}= - \frac{\cos^2 \theta_2}{y_B}$

Donc finalement on obtient :

$\begin{matrix} 0 &=& -\frac{\cos^2 \theta_1}{y_A} n\, y_A \frac{\sin \theta_1}{\cos^2 \theta_1} + \frac{\cos^2 \theta_2}{y_B} n\, y_B \frac{\sin \theta_2}{\cos^2 \theta_2} \\ & = & n (-\sin \theta_2 + \sin \theta_1) \end{matrix}$

On est parvenu à démontrer que $θ 1 = θ 2$ .

[modifier] Loi de la réfraction

$Refraction fr.png$

Tout ou partie de la lumière est susceptible d'être transmise et déviée lorsqu'elle rencontre une séparation entre deux milieux d'indices n₁ et n₂ différents. On dit alors que le rayon est réfracté.

Loi de la réfraction

Lorsqu'un rayon incident, d'angle d'incidence θ₁, est réfracté avec un angle θ₂, la relation suivante doit être vérifiée :

$n_1\, \sin \theta_1 = n_2\, \sin \theta_2$

La démonstration du paragraphe précédent est toujours valable à la seule différence qu'il y a deux indices différents. On obtient en fait :

$0=\frac{\partial L}{\partial x} =- n_1\, \sin \theta_1 + n_2\, \sin \theta_2$

D'où la réponse.

[modifier] Expression plus générale

Pour rassembler les trois lois de Snell-Descartes que l'on vient de voir, on peut utiliser les notations suivantes :

$\vec u_1$ est le vecteur directeur du rayon incident,
$\vec u_2$ est le vecteur directeur du rayon sortant,
$\vec N$ est le vecteur orthogonal à la surface au point d'incidence.

Les lois de Snell-Descartes se résument à :

$n_1\vec u_1 -n_2\vec u_2$ est colinéaire à $\vec N$ .

(Pour la loi de la réflexion il faut choisir $n 1 = n 2$ )

[modifier] Conséquence : théorème de Malus

Théorème de Malus

Les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d'onde.

Pour démontrer ce théorème, il faut d'abord se rendre compte que dans un milieu homogène, c'est forcément vrai. En effet, dans un tel milieu les rayons partant en ligne droite du centre O forment une onde sphérique. Les surfaces d'ondes sont alors perpendiculaires aux rayons.

Dans un milieu non-homogène, ce n'est pas aussi évident. Pour simplifier, on va montrer que le théorème est vrai pour une succession de dioptres (un milieu dont l'indice varie par paliers). Ensuite il suffira de supposer que ces dioptres sont infiniment proches pour obtenir un milieu dont l'indice varie continument. Mais d'abord considérons le cas où l'on place un seul dioptre sur le trajet d'un rayon. On note A le point d'incidence du rayon sur le dioptre, et B un point que ce rayon atteint après le dioptre avec un chemin optique L. On note également $\vec u_1$ le vecteur directeur de $\vec {OA}$ et $\vec u_2$ le vecteur directeur de $\vec {AB}$ . Le chemin optique s'écrit :

$L = n_1 OA + n_2 AB = n_1 \vec u_1 \cdot \vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot \vec{AB}$

Prenons alors un autre rayon infiniment proche passant par O, A' et B' . On note $\vec u_1\,'$ et $\vec u_2\,'$ ses vecteurs directeurs. Pour trouver la différence de chemin optique entre ces deux rayons, on calcule la différentielle de L :

$\begin{matrix} dL & = & n_1 \vec u_1 \cdot d\vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{AB} \\ & = & n_1 \vec u_1 \cdot d\vec{OA} - n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OB}\\ & = & \underbrace{ (n_1 \vec u_1 - n_2 \vec u_2) \cdot d\vec{OA} }_{=0 \mbox{ lois de Snell Descartes} } + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OB} \\ & = & n_2 \vec u_2 \cdot \vec{BB'}\end{matrix}$ .

Donc finalement, si B et B' font partie de la même surface d'onde (dL = 0 par définition), alors les vecteurs $\vec u_2$ et $\vec{BB'}$ sont perpendiculaires. Autrement dit, le rayon est perpendiculaire à la surface d'onde.

On a ainsi démontré le théorème de Malus pour un seul dioptre. Pour terminer la démonstration, une récurrence serait nécessaire, mais les étapes sont identiques à cette dernière.

[modifier] Observations expérimentales

Pour justifier les résultats que l'on vient d'obtenir, il faut pouvoir les observer dans la nature. On donne d'abord quelques exemples d'observations des phénomènes de réflexion et de réfraction :


Réflexion d'un vase dans un miroir.	Réflexion dans un morceau de plastique.

$Refraction.jpg$
Réfraction à l'interface air-eau.	Explication : la réfraction dévie les rayons lumineux comme s'ils venaient d'un crayon plus élevé que le vrai.

$Deviated laser refraction.png$

Ces exemples sont relativement simples à expliquer car les rayons s'y propagent dans des milieux homogènes. Mais que se passe-t-il lorsqu'on utilise un milieu non-homogène ? Tout d'abord, il faut fabriquer un tel milieu. Une façon simple de faire cela est de dissoudre une grande quantité de sucre dans une cuve d'eau et d'attendre que celui-ci, à cause de la gravité, s'accumule davantage au fond qu'au dessus. Ainsi la densité de sucre est d'autant plus importante que l'on va vers le fond de la cuve. On observe (voir image ci-contre) que le rayon d'un laser est dévié vers le bas lorsqu'il traverse l'eau sucrée inhomogène. On peut interpréter ce phénomène en imaginant que cette eau est composée d'une infinité de dioptres horizontaux infiniment proches les uns des autres et que le rayon est successivement réfracté vers le bas par tous ces dioptres. Or d'après la formule $n_1\, \sin \theta_1 = n_2\, \sin \theta_2$ valable pour le passage d'un de ces dioptres, la déviation sera vers le bas ( $sinθ 1 > sinθ 2$ ) si $n 1 < n 2$ . On peut en déduire une loi pratique à retenir :

La lumière est réfractée vers les zones de fort indice.

Le rayon i semble provenir d'une voiture qui serait sous la route.

Ce phénomène existe dans la nature par ce que l'on appelle les mirages. C'est par exemple les reflets que l'on voit parfois sur la route (voir image en bas). L'explication est identique à celle de l'eau sucrée : la route chauffe davantage l'air juste au-dessus d'elle que l'air plus éloigné. Ainsi la température de l'air, et donc son indice, varie en fonction de la distance à la route. On a donc encore une fois un milieu dont l'indice n'est pas homogène. Les rayons seront alors déviés vers le haut, et lorsqu'ils arrivent sur notre œil, ils semblent venir du bas (voir le schéma explicatif ci-contre).


Quelques exemples de mirages.

[modifier] Liens

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Sections

[modifier] Le rayon lumineux

[modifier] Outils de base

[modifier] Longueur d'onde

[modifier] Indice d'un milieu

[modifier] Chemin optique

[modifier] Surface d'onde

[modifier] Principes de l'optique géométrique

[modifier] Lois de Snell-Descartes

[modifier] Loi de la réflexion

[modifier] Loi de la réfraction

[modifier] Expression plus générale

[modifier] Conséquence : théorème de Malus

[modifier] Observations expérimentales

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