Cours de premier cycle universitaire (L1-L2)/Outils mathématiques pour la physique

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Ce cours fait partie de la faculté de physique. Il regroupe différentes notions de mathématiques simplifiées, adaptées à la physique, et nécessaires pour comprendre certains cours.

Sections

1 Notions sur les différentielles
- 1.1 Dérivées d'une fonction
- 1.2 Notation différentielle
2 Résolution d'équations différentielles
3 Incertitudes
4 Analyse vectorielle
5 Série et transformée de Fourier : analyse en fréquence

[modifier] Notions sur les différentielles

[modifier] Dérivées d'une fonction

Rappel de la définition de la dérivée d'une fonction

Définition

La dérivée d'une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante :

$f'(x)=\lim_{u \to 0} \frac{f(x+u)-f(x)}{u}$

(1)

Dérivée logarithmique

Définition

On appelle la dérivée logarithmique d'une fonction la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction f est la dérivée de la fonction g définie par $g (x) = ln | f (x) |$ . Or comme l'on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a :

$g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$
Dérivée partielle

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables. Par exemple, la dérivée de la fonction f par rapport à la variable x, puis par rapport à la variable y, sont notées :

$\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$

De telles dérivées sont appelées dérivées partielles. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à x ou y, ce qui nous donnes les dérivées partielles secondes :

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ , et $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$

[modifier] Notation différentielle

Différentielle d'une fonction à une seule variable

Connaissant une certaine fonction f dépendant d'une seule variable, on définit une nouvelle fonction $ε$ :

$\epsilon (u)=\frac{f(x+u)-f(x)}{u}-f'(x)$

Donc en prenant la limite de cette expression lorsque u tend vers 0, on obtient :

$\lim_{u \to 0} \epsilon(u) =0$

D'autre part, on a aussi :

$f(x+u)-f(x) = f'(x)\, u + \epsilon(u)\, u$

Ainsi en lorsque u tend vers 0, on peut supprimer le dernier terme de cette équation car $ε$ a une valeur proche de 0. Il reste donc :

$f(x+u)-f(x) = f'(x)\, u$

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notion de différentielle. Pour cela, il faut remarquer que u est une toute petite variation de x. On note alors dx = u la différentielle de x. De même, $f (x + u) - f (x)$ est une toute petite variation de f. On note alors $d f = f (x + u) - f (x)$ la différentielle de f. On obtient une relation entre ces différentielles :

$df = f'(x)\, dx$

Mais attention, la démonstration n'est valable que lorsque dx tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que df et dx sont des grandeurs infinitésimales.

Différentielle d'une fonction à plusieurs variables

Si la fonction f dépend de plusieurs variables x, y, et z, le même raisonnement peut être appliqué, et on obtient une équation faisant intervenir les dérivées partielles :

$df= \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz$

(2)

Différentielle totale

On vient de montrer que la différentielle d'une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l'on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.

Définition

Soient trois fonctions P, Q et R dépendant chacune de trois variables x, y, et z. Existe-t-il une fonction f telle que

$\frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y,z)$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y,z)$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = R(x,y,z)$ ?

Si c'est le cas, on dit que la grandeur suivante :

$df=P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz$

est une différentielle totale.

On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l'expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ , $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$ , et $\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$ ,
Conséquence: relations entre dérivées partielles de fonctions implicites

On s'intéresse au cas d'une fonction f telle que $f (x, y, z) = 0$ . Dans ce cas, les variables x, y, et z sont implicitement liées entre elles : x(y,z), y(x,z), z(x,y). On a, d'après l'équation (2) :

$\begin{matrix} dx & = & \frac{\partial x}{\partial y} dy + \frac{\partial x}{\partial z} dz \\ & = & \frac{\partial x}{\partial y} \left(\frac{\partial y}{\partial x} dx + \frac{\partial y}{\partial z} dz \right) + \frac{\partial x}{\partial z} dz \\ & = & \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} dx + \left(\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial x}{\partial z} \right) dz \end{matrix}$

Or cela est valable pour tout dx et pour tout dz. On peut donc supposer successivement que dz = 0 puis que dx = 0 :

Pour dz = 0 on obtient la relation importante :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}=1$

Pour dx = 0 on obtient une autre relation :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial x}{\partial z}=0$

D'où :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=-1$

[modifier] Résolution d'équations différentielles

[modifier] Définition et simplification du second membre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée f. Cette équation fait intervenir f et ses dérivées. Résoudre une équation différentielle correspond donc à trouver toutes les fonctions f qui la vérifient.

Exemples d'équations différentielles dont l'inconnue est une fonction f dépendant d'une seule variable x :

$f'(x) + 2 x\,f(x)^2 = 0$
$x^2\, f''(x) + x\, f'(x) + (x^2-1)f(x) = 0$
$f''(x) -2x\, f'(x) + f(x) = 0$

On ne s'intéressera, dans ce cours, qu'à des équations différentielles linéaires d'ordre inférieur ou égal à 2, c'est-à-dire à des équations du type :

$a\, f''(x)+b\, f'(x)+c\, f(x)=g(x)$

où a, b et c sont des constantes, et g est une fonction connue appelée le second membre.

Élimination du second membre

On peut montrer, en mathématiques, que si l'on connait une solution, on peut trouver toutes les autres en suivant ces étapes :

La solution que l'on connaît déjà est notée $f_p\,$ et s'appelle la solution particulière.
On écrit une nouvelle équation différentielle :

$a\, f''(x)+b\, f'(x)+c\, f(x)=0$

qui s'appelle l'équation sans second membre car on a retiré la fonction g.

On résout cette équation, dont on note $f_0\,$ toute solution.
On sait alors que toute solution de l'équation avec second membre s'écrit :

$f(x) = f_0(x) + f_p(x)\,$

Autrement dit, on peut énoncer le théorème suivant :

Toute solution d'une équation différentielle linéaire est la somme d'une solution particulière et d'une solution de l'équation sans second membre.

Par conséquent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car il suffit d'ajouter une solution particulière à leurs solutions pour pouvoir les résoudre complètement.

[modifier] Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre

Une telle équation est de la forme :

$f'(x)+a\, f(x) =0$

Pour la résoudre, on utilise une démonstration pas très rigoureuse, mais qui s'avère pratique en physique. Elle consiste à utiliser la relation $df = f'(x)\, dx$ obtenue pendant le chapitre sur les différentielles. Les étapes du raisonnement sont les suivantes :

$\frac{df}{dx}=-a\,f(x)$

$\frac{df}{f}=-a\, dx$

$d(\ln f) = d(-a\, dx)$ d'après les résultats qu'on avait obtenus sur la dérivée logarithmique.

$\ln f(x) = -a\,x+B$ après intégration (B est une constante d'intégration).

$\ln (f(x)/C) = -a\,x$ en ayant posé

B = ln C

Finalement, en appliquant la fonction exponentielle aux deux membres de cette dernière relation, on obtient la solution générale de l'équation différentielle du premier ordre :

$f(x)=C\,\exp(-a\,x)$

où C est une constante que l'on peut déterminer si l'on connaît une certaine valeur de f (une condition initiale). On remarque donc que la solution est une exponentielle croissante ou décroissante. Ce résultat est très utilisé en physique car on rencontre souvent ce type d'équations.

[modifier] Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre

Une telle équation est de la forme :

$f''(x)+a\,f'(x)+b\, f(x) =0$

On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

$f(x)=C_1\exp(r_1x)+C_2\exp(r_2x)\,$

où C₁ et C₂ sont des constantes, et r₁ et r₂ sont les solutions de l'équation du second degré $r^2+a\,r+b=0$ qui est appelée équation caractéristique.

Plusieurs possibilités apparaissent à ce stade : les racines r₁ et r₂ peuvent être des nombres réels ou des nombres complexes. Si ce sont des réels, on a deux exponentielles réelles. Mais si ce sont des complexes, alors il apparaîtra des termes du type $exp(i α x)$ qui sont clairement oscillants. On pourra donc voir apparaître des régimes d'oscillation, et même d'oscillation amortie.

[modifier] Exemples

Équation du premier ordre avec second membre constant

On prend l'exemple d'un parachutiste tombant à la verticale, qui, à un instant t = 0 ouvre son parachute alors qu'il avait une vitesse v(0). On suppose, pour simplifier le problème, que son parachute lui fait subir une force de frottement opposée à sa vitesse. On peut alors montrer en mécanique que l'équation différentielle que vérifie la vitesse v est :

$\frac{dv}{dt} + a\, v(t)= g$ où g (accélération de la pesanteur) et a (coefficient de frottement) sont des constantes.

On cherche d'abord une solution particulière, notée v_p. Pour cela, on peut remarquer qu'en la supposant constante, le terme faisant intervenir sa dérivée est forcément nul (la dérivée d'une constante est nulle). Ainsi, il resterait a v_p = g ou encore v_p = g/a. On peut vérifier, en introduisant cette relation dans l'équation différentielle, que c'est effectivement une solution particulière : on la retient pour la suite.

Il nous faut maintenant calculer les solutions v₀ de l'équation sans second membre qui s'écrit :

$\frac{dv_0}{dt} + a\, v_0(t) = 0$

Le paragraphe sur l'équation différentielle du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution à cette équation :

$v_0(t)=C\exp(-a\,t)$

où C est une constante qu'il nous faudra déterminer.

Évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps.

On sait alors que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre :

$v(t) = v_p + v_0(t) = \frac{g}{a} + C\exp(-a\,t)$

Il nous reste à déterminer la constante C. Pour cela, on évalue l'expression précédente en t = 0 :

$v(0) = \frac{g}{a} + C \exp(0) = \frac{g}{a} + C$

On a donc C = v(0) - g/a. D'où :

$v(t) = \frac{g}{a} + \left(v(0)-\frac{g}{a}\right) \exp(-a\,t)$

Finalement, on s'aperçoit que la vitesse évolue de façon exponentielle depuis la vitesse initiale v(0) à une vitesse finale g/a. Donc au bout d'un moment, le parachutiste va être maintenu à une vitesse maximale, appelée vitesse limite.

Équation du premier ordre avec second membre oscillant

On considère un circuit électrique contenant une résistance R, un condensateur C et un "générateur basse fréquence" (amplitude E et fréquence $ω$ ) associés en série. On obtient alors en électricité l'équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur :

$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = E \cos(\omega t)$

Premièrement, on cherche la solution particulière q_p sous la forme $q p = A cos(ω t) + B sin(ω t)$ . Pour déterminer A et B, on insère l'expression de q_p dans l'équation différentielle, ce qui donne :

$\left(-A\omega+\frac{B}{RC}\right) \sin(\omega t) + \left(B\omega +\frac{A}{RC}\right) \cos(\omega t) = \frac{E}{R} \cos(\omega t)$

Or cela est vrai quelque soit t. On choisit donc successivement deux valeurs différentes de t. En l'occurrence, les valeurs 0 et $π / 2ω$ nous donnent respectivement :

$B\omega+\frac{A}{RC}=\frac{E}{R}$ et $-A\omega+\frac{B}{RC}=0$

On en déduit, après quelques calculs, que

$A=\frac{B}{RC\omega}=\frac{CE}{1+R^2C^2\omega^2}$

Nous avons donc déterminé la solution particulière.

Évolution de la charge du condensateur en fonction du temps.

Deuxièmement on résout l'équation sans second membre qui s'écrit de la manière suivante :

$\frac{dq_0}{dt} + \frac{1}{RC} q_0 = 0$

Le paragraphe sur les équations différentielles du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution :

$q_0(t)=\alpha \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)$

On obtient finalement la solution de l'équation de départ en sommant q₀ et q_p :

$q(t)=\frac{CE}{1+R^2C^2\omega^2}\left(\cos(\omega t) + RC\omega \sin(\omega t) + \alpha\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)$

Il ne reste plus qu'à déterminer la constante $α$ . Pour cela, on suppose connue la charge initiale q(0). Cela donne l'expression finale de q(t) :

$q(t)=\frac{CE}{1+R^2C^2\omega^2}\left(\cos(\omega t) + RC\omega \sin(\omega t)-1\right) + q(0)\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)$

Ainsi on remarque que la charge du condensateur va suivre, au bout d'un temps de l'ordre de R C, l'oscillation de la tension, avec toutefois un certain décalage.

Équation du second ordre avec second membre nul

On considère un atome formé d'un noyau supposé ponctuel et fixe, et d'un électron gravitant autour à une distance x(t). Cet électron est soumis à l'attraction du noyau (force de rappel élastique) et à un ralentissement (car il émet de la lumière en bougeant). On peut alors montrer que l'équation différentielle que vérifie x(t) est :

$\frac{d^2x}{dt^2}+a\frac{dx}{dt}+\frac{b^2}{4}\,x = 0$

où a et b sont des constantes positives caractéristiques du ralentissement et de l'attraction respectivement.

Pour résoudre cette équation, on écrit l'équation caractéristique : $r^2 + a\, r + b^2/4 = 0$ . Ses solutions sont :

$r_1=\frac{a}{2}\left(-1+\sqrt{1-b^2/a^2}\right)$ et $r_1=\frac{a}{2}\left(-1-\sqrt{1-b^2/a^2}\right)$

Les solutions de l'équation différentielle sont alors :

$x(t)=C_1\exp(r_1t)+C_2\exp(r_2t)\,$

Évolution de la position de l'électron dans le régime d'oscillation amortie.

On ne va pas chercher à calculer les constantes C₁ et C₂ car le calcul est fastidieux et peu intéressant. À ce stade, on ne sait pas si r₁ et r₂ sont des nombres réels ou complexes. On distingue donc différents cas :

Si $b\le a$ , alors r₁ et r₂ sont réels, et d'après leur expression, ils sont tous deux négatifs. Chaque exponentielle tend donc vers 0. Cette situation correspond au cas où l'électron se rapproche indéfiniment du noyau de façon monotone.
Si b > a, alors r₁ et r₂ sont complexes. En séparant leur partie réelle et leur partie imaginaire, on obtient :

$x(t)=\exp\left(-\frac{at}{2}\right) \left(C_1\exp\left(i\sqrt{b^2-a^2}\frac{t}{2}\right) +C_2\exp\left(-i\sqrt{b^2-a^2}\frac{t}{2}\right) \right)$

On se place dans le cas où l'électron a, au départ, une vitesse nulle. On peut alors montrer en dérivant l'équation précédente que C₁ = - C₂. D'où la simplification :

$x(t)=2 C_1 \exp\left(-\frac{at}{2}\right) \cos\left(i\sqrt{b^2-a^2}\frac{t}{2}\right)$

Le terme avec le cosinus indique que l'électron effectue des oscillations. Le terme avec l'exponentielle impose au mouvement de tendre vers 0. Le mouvement global de l'électron est donc une oscillation amortie.

On retrouve ce type de mouvement dans de nombreux problèmes de physique. Il est important de se souvenir qu'il existe deux régimes : un amortissement simple, ou un amortissement avec oscillation.

[modifier] Incertitudes

[modifier] Définition et notations

Tandis qu'un modèle théorique permet d'obtenir un comportement exact du système étudié, une mesure en physique ne donne jamais un résultat infiniment précis. Il y a toujours une barre d'erreur sur la mesure effectuée, c'est-a-dire un intervalle de valeurs dans lequel le résultat se trouve. Par exemple, supposons que l'on mesure la longueur d'un objet à l'aide d'une règle : il est incorrect de dire que l'objet mesure d = 9,1 cm. Il faut au contraire indiquer la précision de la mesure. Plusieurs écritures sont possibles :

$9,0\; cm \le d \le 9,2\; cm$
$d \in [9,0 \; ;\, 9,2] \; cm$
$d = 9,1 \pm 0,1 \; cm$

La dernière notation est la plus souvent employée par les physiciens.

D'une manière plus générale, si l'on mesure une grandeur $X$ et que l'on obtient une valeur moyenne $x$ avec une incertitude $Δ x$ , on notera :

$X=x\pm \Delta x$

Dans ce cas, $Δ x$ est appelée incertitude absolue et a la même unité que $x$ .

On définit également l'incertitude relative :

$\frac{\Delta x}{x}$

qui est forcément sans unité. Dans l'exemple précédent de la règle graduée, on a $x=9,1\; cm$ et $\Delta x=0,1\; cm$ , donc l'incertitude relative vaut 0,1 / 9,1=0,01.

[modifier] Origine des incertitudes

On distingue plusieurs types d'incertitudes selon leur origine. Tout d'abord il peut arriver que l'expérimentateur ait fait des erreurs de lecture. Par exemple en lisant la valeur indiquée par un multimètre à aiguille, on ne voit pas la même valeur selon l'angle de vue. Ce type d'erreur est souvent supposé inexistant lorsque l'expérience est bien réalisée.

Précision de l'appareil de mesure

Aucun appareil de mesure est infiniment précis : il impose une barre d'erreur minimale. Par exemple la mesure d'une longueur avec une règle graduée ne peut pas se faire avec une incertitude de moins d'un millimètre. Cela est aussi valable pour la lecture d'un volume contenu dans une burette ou une pipette. On rencontre le même type d'incertitude sur un multimètre à affichage numérique car il affiche un nombre limité de chiffres et car il n'est pas forcément suffisamment technologiquement avancé pour pouvoir assurer que tous les chiffres affichés soient justes. Dans tous les cas, il est nécessaire, pour effectuer une mesure de qualité, de noter l'incertitude indiquée par le constructeur de l'appareil.

Exemples de courbes gaussiennes.

Dispersion de la grandeur à mesurer

Il peut arriver que la grandeur à mesurer n'a pas une valeur infiniment précise. Par exemple si l'on veut mesurer la vitesse d'un écoulement d'air, celui-ci ne va pas exactement à une vitesse donnée : chacune de ses zones va à une vitesse différente de sa voisine. On dit que la grandeur est dispersée autour d'une valeur moyenne. Ainsi, à chaque fois que l'on répète l'expérience, la valeur mesurée sera différente de la précédente. On s'aperçoit que l'on obtient plus fréquemment des mesures proches de la valeur moyenne. Ces mesures sont souvent réparties selon une courbe gaussienne :

$P(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$

où $P (x)$ est la probabilité d'obtenir la valeur $x$ , $\mu\,$ est la valeur moyenne, et $\sigma\,$ est la largeur de la gaussienne. Selon l'expérience, on peut choisir, soit d'inclure cette dispersion dans l'incertitude, soit de ne prendre en compte que la valeur moyenne.

[modifier] Calcul d'incertitudes absolues

Cas général

Supposons que l'on mesure un certain nombre de grandeurs indépendantes $x_1,\,...,\,x_n$ avec les incertitudes respectives $\Delta x_1,\, ...,\,\Delta x_n$ . On veut alors en déduire l'incertitude d'une grandeur $f$ dépendant des variables $x i$ . D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + ... +\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$

On peut alors calculer un majorant de df :

$|df|\le \left| \frac{\partial f}{\partial x_1} \right| |dx_1| + ... +\left| \frac{\partial f}{\partial x_n} \right| |dx_n|$

Puis en notant les incertitudes $Δ x = | d x |$ pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

$\Delta f = \left| \frac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 + ... +\left| \frac{\partial f}{\partial x_n} \right| \Delta x_n$

(3)

Exemple concret

On prend par exemple la mesure d'une résistance électrique R. Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité I passant dans le circuit à l'aide d'un ampèremètre et la tension U aux bornes de la résistance à l'aide d'un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées $Δ I$ et $Δ U$ . On obtient les valeurs suivantes :

$I=0,10\;mA$ , $U=1,50\;V$ , $\Delta U=0,01\; V$ et $\Delta I=0,01\; mA$ .

Tout d'abord on calcule la valeur moyenne de R sachant que $R = U / I$ : cela donne 1,50 / 0,10 x 1000 = 15 000 Ω. Il faut ensuite calculer l'incertitude $Δ R$ . Pour cela on doit calculer les dérivées partielles de R par rapport à U et I :

$\frac{\partial R}{\partial U} = \frac{\partial (U/I)}{\partial U} = \frac{1}{I}$ et $\frac{\partial R}{\partial I} = \frac{\partial (U/I)}{\partial I} = -\frac{U}{I^2}$

Ainsi la formule (3) se traduit ici par :

$\begin{matrix} \Delta R & = & \frac{\partial R}{\partial U} \Delta U + \frac{\partial R}{\partial I} \Delta I \\ & = & \frac{1}{I} \Delta U + \frac{U}{I^2} \Delta I \\ & = & 100\;\Omega\; + \; 1500\; \Omega \\ & = & 1600\; \Omega \end{matrix}$

Finalement, la mesure que l'on a effectué nous donne : $R = 15000 \pm 1600 \; \Omega$

[modifier] Calcul d'incertitudes relatives

Dans le cas général, il n'est pas pratique de calculer directement des incertitudes relatives. Mais si la fonction f s'exprime sous forme d'un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :

$f(x,y,z)=x^a\, y^b\, z^c$

où a, b et c sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation :

$\ln\,f(x,y,z) = a\, \ln x + b\,\ln y+c\,\ln z$

Puis on prend la différentielle de cette équation :

$\frac{df}{f} = a \frac{dx}{x} + b \frac{dy}{y} + c\frac{dz}{z}$

D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :

$\frac{\Delta f}{f} = a \frac{\Delta x}{x} + b \frac{\Delta y}{y} + c\frac{\Delta z}{z}$

Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relatives entre elles.

[modifier] Analyse vectorielle

Flux et circulation d'un vecteur, divergence, gradient, rotationnel, compositions de ces opérateurs, pseudo-vecteur, expressions en coordonnées cylindriques ou sphériques.

[modifier] Série et transformée de Fourier : analyse en fréquence

Cours de premier cycle universitaire (L1-L2)/Outils mathématiques pour la physique

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[modifier] Notions sur les différentielles

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[modifier] Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre

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[modifier] Exemples

[modifier] Incertitudes

[modifier] Définition et notations

[modifier] Origine des incertitudes

[modifier] Calcul d'incertitudes absolues

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