Informatique et Sciences du Numérique au lycée : un pas plus loin/LANGAGES/Éléments de Logique

La logique mathématique ou méta-mathématique a été introduite en tant que discipline des mathématiques à la fin du xixe siècle, qui s'est donné comme objet la formalisation du raisonnement. Cette question a été également abordée par la philosophie.

Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles qui définissent le « sens » des formules (et parfois même des démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats dans les structures permet de leur affecter une valeur de vérité.

Le Calcul des Propositions permet d'exprimer des propriétés d'objets. Elles peuvent êtres des propriétés élémentaires et dites alors propriétés atomiques ou être des propriétés construites à partir de propriétés élémentaires et des opérateurs appelés connecteurs permettant d'exprimer la conjonction (le ET), la disjonction (le OU), la négation (le NON) et l'implication (le =>) de propriétés. Le calcul des propositions définit les règles de déduction qui relient les propositions entre elles, sans en examiner le contenu ; il est ainsi une première étape dans la construction du calcul des prédicats, qui lui s'intéresse au contenu des propositions.

La théorie des ensembles reconstruit à partir des notions d'ensemble et d'appartenance les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes…