Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la gravimétrie
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La gravimétrie est, à elle seule, un corpus très important de connaissances, tant du point de vue de la théorie que des applications. La loi d'attraction universelle de Newton (1687) étant identique à celle qu'énoncera plus tard Coulomb pour les charges électriques, gravimétrie et électrostatique sont du point de vue théorique isomorphes. On pourra aisément translater les résultats de l'une vers l'autre : il suffit de transposer q -> m et 1 / 4πε0 -> -K (avec K la constante de Cavendish).
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[modifier] Electrostatique, rappels
Il existe d'excellents livres d'électrostatique : citons
- le Jackson , LA bible
- le Smith : bourré d'exercices, y compris par CAO
- le Durand : toutes les figures y sont.
- le Alexeev : si vous faites tous les exo, vous serez au point.
Cela n'empêche pas de lire le Feynman, le Berkeley, le Landau.
- Le Kellog est LE livre orienté théorie du potentiel, et le travail de Poincaré.
A un plus haut niveau, Doob montre que le Laplacien et la marche brownienne avec absorption sur les bords c'est ~ pareil. Suivent alors tous les livres de "théorie du Potentiel" (Séminaire Brelot,etc.)
Ne suivent ici que les rappels de [bac +1 ]
[modifier] Champ et potentiel
[modifier] Flux du champ E et théorème de Gauss
[modifier] Mémento des formules usuelles classiques
[modifier] Dipôle et multipôles
[modifier] Gravimétrie
[modifier] Champ, Potentiel, Théorème de Gauss
[modifier] Mémento des formules classiques
Il convient surtout de remarquer que si l'on possède GM (la constante de Gauss) avec une précision de 10^(-13), on connaît très mal G ( la constante de Cavendish) avec une précision de 10^(-5) et encore pas pour les petites distances.
Exo : soit une plaque uniforme de masse volumique ρ ; de part et d'autre de la plaque la pesanteur varie de Delta_g. On déplace la plaque au-dessus puis au dessous d'un sakuma. Sachant qu'un sakuma est précis à 10^(-13) évaluer l'épaisseur de plaque nécessaire.
Exo : soit un volcan conique sous-marin affleurant la surface, d'angle au sommet_O,α :les marins savaient très bien que la mer n'était pas plate au voisinage de O (la carte du ciel se modifiait ! ). Dessiner la mer au voisinage de O ( on posera h= 4km , alpha = 30°, la masse volumique : 3kg/L ).
Exo : Turcotte est LA référence.
[modifier] La Terre, niveau élémentaire
le Diament, le Moritz, le Radix ,le Torge,les Levallois et les Melchior etc. vont nous servir.
[modifier] Les références usuelles
- ~Boule :
Circonférence : 40 000 km ( ancienne définition du mètre )
Masse : tq masse volumique =(1+10)/2= 5,5 kg/L
se comporte donc comme un point massique pour l'extérieur (théorème "remarquable" de Newton,1685):
G = KM/R² = ~9,8 m/s²
[modifier] Le champ de pesanteur
Il faut rajouter le fait que la Terre pivote : champ de force axifuge : -1/2 
. Donc g varie avec l'altitude, et la latitude ( pas avec la longitude si symétrie sphérique); mais il ne faut pas oublier que la Terre sur les temps géologiques s'est mise en isostasie et donc a pris, en gros, la forme d'une galette très peu aplatie, de champ G(M), légèrement différent d'un champ central à cause du bourrelet équatorial ( 40 021km)[le Mississipi coule en s'éloignant du centre de la Terre !]
donc g(Pôle)= 9,78 ; g(Equateur) = 9,82 m/s²
LE paramètre important, sans dimension est ici m = Ω2R / g = 1 / 172 = 1 / 289
[modifier] Exercices, niveau bac+2
- La Terre tournait plus vite il y a longtemps. Si elle tournait 2 fois plus vite, quelle valeur donneriez-vous à g(équateur) ?
- soit un Globe sphérique de rayon R et tournant 17 fois plus vite que la Terre : dessiner les équipotentielles dans un plan méridien : montrer que les arbres donneraient la direction du Nord, que les lacs aussi ( par leur perpendiculaire) !
- soit un objet lancé au pôle nord du globe précédent avec la vitesse sqrt(gR): mouvement? mouvement par rapport au sol? Montrer que la trajectoire projetée sur l'équateur est un cercle.
[modifier] Les gravimètres
[modifier] le pendule de Kater
Longtemps le pendule pesant a servi à mesurer g(M).
Le pendule de Kater ou pendule réversible est une barre pesante avec deux couteaux symétriques par rapport au centre G de distance AB = l = longueur du pendule simple synchrone. En fait A et B sont deux couteaux aussi aiguisés que possible ( calcul du rayon de Hertz possible), et une bague( ou 2) permettent de régler au mieux G de façon que T(A) = T(B) si on "renverse le pendule". On obtient au mieux une précision de 10^(-6).
Exercice : cf AmJPhy.
[modifier] l'expérience de Newton
Il est remarquable que la masse pesante et la charge gravitationnelle s'éliminent toujours des calculs, quel que soit le matériau : Newton a passé beaucoup de temps à vérifier ce phénomène, énoncé par Galilée.
De même , en chute libre ( càd en ayant éliminé la résistance de l'air) , une plume tombe aussi vite qu'un plomb ou un platine ou un platane : dès que Newton eût à sa disposition une machine à faire le vide, il s'empressa de faire l'expérience , fort spectaculaire à vrai dire ! On peut la voir dans de multiples musées. Sinon un tube de verre de 2m de long, phi = 5cm, fait l'affaire.
[modifier] les sismographes
Grosso-modo, supposons que l'on maintienne un éléphant en suspension statique : quand la Terre vibre, la capacité électrique entre ses pieds et le sol varie et donne donc le mouvement du sol.
En pratique, on suspend une grosse masse au bout d'un ressort de raideur quasi-nulle ( mais évidemment , par une astuce technologique, on élimine l'allongement statique du ressort).
Exo : Ulm 1973
[modifier] les gravimètres "Sakuma"
En 1970, Sakuma a l'idée de refaire l'expérience de Newton avec un coin de cube, servant de 2ème miroir d'un michelson : Quand le coin de cube tombe, on enregistre le défilement des franges : cela donne g avec une précision fantastique ~10^(-12)
Exo : Capes 1982
Les appareils actuels sont dérivés du Sakuma et donnent la même précision absolue. Mais cet équipement est cher et requiert une "base" géodésique précise.
[modifier] L'intérieur de la Terre et Bullard
On se doutait bien que la Terre avait une masse volumique ρ(r) qui décroît avec la distance. Bullard est le premier qui déclare qu'elle le fait avec une discontinuité nette au niveau Noyau - Manteau.
Aujourd'hui, on sait évaluer grâce à la sismologie, la masse volumique. Mais le petit exercice suivant donnera le principe du raisonnement de Bullard :
- Soit une boule sphérique de rayon R ,non homogène, dont on connaît g(r) :
de 0 à R/2, g(r) =g(R)r/R ;
de R/2 à R , g(r) = cste = go
Montrer qu'il existe une forte discontinuité en R/2 Calculer le moment d'inertie de ce Globe.
[modifier] Gravimétrie et Géodésie
La gravimétrie est l'étude du champ de pesanteur terrestre : si la Terre était recouverte d'eau, sa surface serait une equipotentielle du champ de pesanteur et le problème serait réglé.
Mais les continents plus légers flottent sur l'asthénosphère et émergent des océans : il faut établir les cartes donnant la distance au "centre" en fonction de la latitude et la longitude du point M ( encore faut-il savoir évaluer ces trois paramètres : c'est l'objet de la géodésie qui va faire au mieux ( où est le "centre " de la Terre, où est l'axe des pôles ), en geo-dein ( parcourir la Terre en la mesurant et en utilisant au mieux les données gravimétriques : croiser ces deux fichiers de data n'est pas si facile.
[modifier] La figure de la Terre, références
[modifier] la figure de la Terre, actuelle : le géoïde
[modifier] Les mesures géodésiques actuelles
[modifier] la grande échelle
Les satellites ( en gros 2000 actuellement) évoluent dans le champ g de pesanteur si on considère la Terre pivotante, ou dans le champ de Gravitation pour une Terre géocentrique : il faut alors décompter les effets différentiels de la Lune et du Soleil + toutes sortes de perturbations.
Pour observer la Terre, on prend des satellites type GPS (h =~10 000 km), mais surtout des satellites géodésiques ( starlette est un précurseur ; les GEOS sont plus gros ; Grace et plus tard Goce sont encore mieux dédié à la gravimétrie.
On espère connaître la Terre avec un maillage de 50 km d'ici une décennie.
[modifier] la petite échelle
Au sol, les maillages peuvent être aussi denses qu'on le veut : les métrés cadastraux peuvent en différentiel se faire par GPS ; ce qui complète utilement les relevés de géodésie.
La France a confié au LAREG cette prestation , les data pouvant être délivrés par l'IGN : on connaît les prestations de SPOT , mais un SIG-MNT est encore plus impressionnant car on y voyage en 3D.
Il reste à couvrir le sous-sol : quant il y a lieu, de superbes MNT sont établis (études pour enfouissement des déchets, impact d'un barrage, etc. ).
[modifier] l'intégration des données
On a donc deux descriptions de la Terre :
- par satellite , avec des mailles très larges ( on essaie d'atteindre 100km : Ylm jusqu'à l =40, soient 1600 coefficients!)
- au sol , par un réseau de mailles très petites, mais qu'on a du mal à raccorder d'île en île, puisque les mesures en littoral sont mauvaises ( pas si facile en Bretagne d'avoir l'altitude sachant qu'il faut faire la part de la marée océane et de la marée terrestre).
De plus l'Océan antarctique est très mal connu.
- Le problème, en 2008, est de fusionner les 2 types de fichiers "au mieux".
Signalons cependant que si la Recherche veut se focaliser sur le voisinage d'un point du Globe, elle peut obtenir des résultats remarquables ( on voit la marée Terrestre ! ).
Ce qui peut paraître surprenant est que l'on n'a pas réussi avec le "centre G " de la Terre : 20 cm restent la limite , en 2008.
[modifier] la dérive des continents et Wegener
Heureusement, les mesures GPS et bientôt les mesures Galileo donnent des variations millimétriques en différentiel : par exemple l'ouverture des Afars se mesure très bien.
Pour la Pacifique ou de continent à continent, on ne peut opérer qu'en mesure absolue. Néanmoins on dispose de bcp de points : la dérive des plaques de Wegener est parfaitement vérifiée avec quelques corrections de visco-élasticité et de plasticité, pour les prismes d'accrétion ou les zones de subduction.
Il faut aussi prendre en compte la déglaciation à l'holocène (disons depuis la dernière déglaciation il y a environ 12000 ans) des boucliers canadien et scandinave. Ce soulèvement appelé rebond glaciaire est difficile à extraire des données compte-tenu des mouvements convectifs donnant lieu à la dérive des continents. On sait très bien voir g(t) variant avec la Lune et le Soleil et + la rétroaction des marées, mais aussi les variations de l'atmosphère sont à prendre en compte à ce niveau de précision ( un gros cyclone tel Katrina apparaît dans les mesures, de même qu'un séisme type Sumatra-2004).
Il reste à les prévoir : disons dans qq décennies ?
Les progrès accomplis en 50 ans ( spoutnik : 1959) sont époustouflants et raviraient Aristarque, Ben Musa, Newton, Clairaut, Airy, etc.
