Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 3 points pondérés ou plus

Barycentre de trois points pondérés

Définition

Définition

Soient A, B et C trois points. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels vérifiant $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$. Le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ est l'unique point G qui vérifie $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$ Si $\alpha +\beta +\gamma =0$, le barycentre n'existe pas.

Exemple

Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.

Localisation

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ (avec $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$).

On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :

${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

${\overrightarrow {\rm {BG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {BA}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {BC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

${\overrightarrow {\rm {CG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {CA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {CB}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ existe, c'est-à-dire $\alpha +\beta +\gamma \not =0$

Coplanarité

Propriété

Comme ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$, alors ${\rm {G\in (ABC)}}$

Invariance par multiplication par un réel non nul

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Démonstration

$k(\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}})={\vec {0}}$ donc $k\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+k\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+k\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$ De plus, comme $k\not =0$ et que $\alpha +\beta +\gamma \not =0$, on a bien $k\alpha +k\beta +k\gamma \not =0$ Donc G est le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},k\alpha ),({\rm {B}},k\beta ),({\rm {C}},k\gamma )\}\,$

Égalité valable en tout point

Propriété

Pour tout point M : $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}=(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$

Les intérêts de cette formule sont multiples :

• Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B,C) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
• Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

Barycentre de n points pondérés

On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.

Définition

Définition

Soient $({\rm {A}}_{1},{\rm {A}}_{2},\cdots ,{\rm {A}}_{n})$ n points. Soient $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ n réels vérifiant $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\not =0$. Le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$ est l'unique point G qui vérifie $\alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {GA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {GA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {\rm {GA_{n}}}}={\vec {0}}$ Si $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=0$, le barycentre n'existe pas.

Exemple

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},1);({\rm {B}},2);({\rm {C}},3);({\rm {D}},-4);({\rm {E}},1)\}\,$ (qui existe car $1+2+3-4+1\not =0$), donc il vérifie l'égalité ${\overrightarrow {\rm {GA}}}+2{\overrightarrow {\rm {GB}}}+3{\overrightarrow {\rm {GC}}}-4{\overrightarrow {\rm {GD}}}+{\overrightarrow {\rm {GE}}}={\vec {0}}$

Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$ existe, c'est-à-dire $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\not =0$.

Invariance par multiplication par un réel non nul

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de n points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Égalité valable en tout point

Propriété

Pour tout point M : $\alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {MA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {MA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {{\rm {MA}}_{n}}}=\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\right){\overrightarrow {\rm {MG}}}$