Manuel de géométrie vectorielle/Théorème de l'associativité du barycentre

Cas de trois points pondérés

Énoncé

Théorème

Soient A, B et C trois points. Soient $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ trois réels vérifiant : $\alpha +\beta \not =0$ $\alpha +\beta +\gamma \not =0$ Soient: G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta );({\rm {C}},\gamma )\}\,$ H le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\}\,$ Alors G est le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {H}},\alpha +\beta );({\rm {C}},\gamma )\}\,$

Exemple

Exemple

Soient : A,B et C trois points, G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2);(C,1)} (qui existe car 1+2+1 ≠ 0), H le milieu de [AC]. Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(B,2);(H,1+1)}, donc de {(B,2);(H,2)}, donc de {(B,1);(H,1)}. Donc G est le milieu de [BH].

Généralisation à n points pondérés

Énoncé

Théorème

Soient $({\rm {A}}_{1},{\rm {A}}_{2},\cdots ,{\rm {A}}_{n})$ n points. Soient k un entier inférieur à n et $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ n réels vérifiant : $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}\not =0$. $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}+\cdots +\alpha _{n}\not =0$. Soient: G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$ H le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{k},\alpha _{k})\}$ Alors G est le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {H}},\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}),({\rm {A}}_{k+1},\alpha _{k+1}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$

Exemple

Exemple

Soient : A,B,C,D et E cinq points G le barycentre du système des points pondérés {(A,1);(B,2);(C,-3);(D,1);(E,-2)} (qui existe car 1+2-3+1-2 ≠ 0) H le barycentre du système des points pondérés {(B,2);(D,1);(E,-2)} (qui existe car 2+1-2 ≠ 0) Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(C,-3);(H,1)}

Remarques sur l'associativité du barycentre

Deux points importants sont à remarquer :

• L'associativité du barycentre est utile en pratique notamment pour l'ajout d'un nouvel élément à un système de points pondérés préexistant.
• En géométrie, la notion de barycentre est à rapprocher de la notion de moyenne pondérée en statistiques.