Mathématiques au lycée/Dérivation

Soit $f$ une fonction numérique d'une variable réelle définie sur un intervalle I contenant $a$. $f$ est dérivable en $a$ si

${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}$, pour $h$ réel tel que $a+h$ appartient à I, a une limite finie quand $h$ tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé, il est noté $f\,'(a)$.

Sur le dessin ci-contre ${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ est le coefficient directeur de la droite D. Lorsque $h$ tend vers 0 la droite D se rapproche de la tangente à la courbe de $f$.

Si $f$ est dérivable en tout réel $a$ d'un intervalle I, on dit que $f$ est dérivable sur I et la fonction, qui associe à tout $x$ de I le réel $f\,'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.

Théorème

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I et $\lambda$ un réel :

• $\lambda \,f$ est dérivable sur I et $(\lambda \,f)\,'=\lambda \,f\,'$.
• $f+g\,$ est dérivable sur I et $(f+g)\,'=f\,'+g\,'$.
• $f\,g$ est dérivable sur I et $(f\,g)\,'=f\,'\,g+f\,g\,'$.
• ${\dfrac {f}{g}}$ est dérivable en tout $x$ de I tel que $g(x)$ soit non nul et $\left({\dfrac {f}{g}}\right)\,'={\dfrac {f\,'\,g-f\,g\,'}{g^{2}}}$.