Mathématiques au lycée/Limites

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1 Limite d'une Fonction
2 Limite d'une suite

[modifier] Limite d'une Fonction

[modifier] Approche

Soit $f:x \mapsto 2x$ .

Que se passe-t-il lorsque $x$ devient de plus en plus grand, autrement dit, lorsque $x$ tend vers l'infini ?
$f (x)$ tend également vers l'infini.

On note : $\lim_{x \to {+ \infty}}f(x) = + \infty$ .

On énonce : « la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers ${+ \infty}$ est égale à ${+ \infty}$ ».

De même, nous pouvons écrire : $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ .

Intéressons-nous maintenant à une valeur précise de $x$ . Par exemple, pour $x = 4$ , $f (x) = 8$ . Mais alors si $x$ tend vers 4, $f (x)$ va s'approcher de plus en plus de $f (4) = 8$ : $\lim_{x \to 4}f(x) = 8$ .

Soit $g:x \mapsto \frac{1}{x}$ .

Si $a$ est un réel quelconque, on a bien : $\lim_{x \to a} g(x) = \frac{1}{a}$ .

Lorsque $x$ devient très grand, nous pouvons concevoir que $\frac{1}{x}$ devient très petit, se rapprochant de 0 : $\lim_{x \to {+ \infty}} g(x) = 0$ .

De même, quand $x$ prend des valeurs négatives très petites, $\lim_{x \to {- \infty}} g(x) = 0$ .

Soit $h:x \mapsto 3x^2-4x+1$ . Essayons de calculer sa limite aux infinis :

$h(x)=3x^2-4x+1\,$
$h(x)=3x^2\left(1-\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2} \right)$

or nous savons que :

$\lim_{x \to +\infty}1 = \lim_{x \to -\infty}1 = 1$
$\lim_{x \to +\infty}-\frac{4}{3x} = \lim_{x \to -\infty}-\frac{4}{3x} = 0$
$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{3x^2} = \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{3x^2} = 0$

donc $\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2} \right) = 1$ et finalement $\lim_{x \to +\infty} {h(x)} = +\infty$ .

Plus généralement, calculons la limite d'une fonction polynôme :

Soit $h:x \mapsto \sum_{i=0}^n a_ix^i$ .

$h(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$
$h(x)=a_nx^n \left(\sum_{i=0}^n \frac{a_ix^i}{a_nx^n} \right)$
$h(x)=a_nx^n \left(1+\sum_{j=0}^{n-1} \frac{a_jx^j}{a_nx^n} \right)$
$h(x)=a_nx^n \left(1+\sum_{j=0}^n \frac{a_j}{a_nx^{n-j}} \right)$

Or, lorsque

0 < j < n

:

$\lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{a_j}{a_nx^{n-j}} \right) = 0$
$\lim_{x \to \pm \infty}1 = 1$
d'où : $\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+\sum_{j=0}^n \frac{a_j}{a_nx^{n-j}} \right) = 1$
et : $\lim_{x \to \pm \infty} {h(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} a_nx^n$ .

Nous retiendrons qu'une fonction polynôme se comporte, aux infinis, comme son terme de plus haut degré.

[modifier] Calcul de limite

[modifier] Limite en un point

Soit $f$ une fonction numérique et $a$ appartenant à $\mathbb{R}$ .

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

[modifier] Limite aux infinis de fonctions de référence

$g:x \mapsto ax+b;(a,b) \in \mathbb{R}^2$

Si $a > 0$	Si $a < 0$
$\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$	$\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$
$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$	$\lim_{x \to -\infty} g(x) = + \infty$

$h:x \mapsto x^{2n};n \in \mathbb{N}^*$

$\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = + \infty$

$k:x \mapsto x^{2n+1};n \in \mathbb{N}^*$

$\lim_{x \to + \infty} k(x) = + \infty$
$\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty$

$l:x \mapsto \frac{1}{ax+b}$

avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2, ax+b \ne 0$
$\lim_{x \to \pm \infty} l(x) = 0$

$m:x \mapsto \sum_{i=0}^n a_ix^i$

$\lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} a_nx^n$

[modifier] Opérations

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques.
Soient $(m,l) \in \mathbb{R}^2$ .
« F.I. » désignera une forme indéterminée à traiter au cas par cas.
Les F.I. sont de type $\infty - \infty$ , $\frac{ \infty}{ \infty}$ , $\frac{0}{0}$ et $0 \times \infty$

$\lim_{x \to a} f(x)$	$\lim_{x \to a} g(x)$	$\lim_{x \to a} (f+g)(x)$	$\lim_{x \to a} (fg)(x)$	$\lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}$
$l\,$	$m\,$	$l+m\,$	$lm\,$	$\frac {l}{m}$ F.I. si $l=m=0\,$
$l\,$	${+\infty}$	${+\infty}$	${+\infty}$ si $l>0\,$ ${-\infty}$ si $l<0\,$ F.I. si $l=0\,$	$0\,$
$l\,$	${-\infty}$	${-\infty}$	${-\infty}$ si $l>0\,$ ${+\infty}$ si $l<0\,$ F.I. si $l=0\,$	$0\,$
${+\infty}$	${+\infty}$	${+\infty}$	${+\infty}$	F.I.
${-\infty}$	${-\infty}$	${-\infty}$	${+\infty}$	F.I.
${+\infty}$	${-\infty}$	F.I.	${-\infty}$	F.I.

[modifier] Exemples

Soit $f:x \mapsto \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}$ . Que vaut sa limite aux bornes de son domaine de définition ?

$-3x^2+5x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{3} \mbox{ ou } x=2$
$\mathcal{D}_f= \mathbb{R}/ \{ -\frac{1}{3};2 \}$
Nous allons étudier la limite de $f$ aux infinis, en $-\frac{1}{3}$ et en $2$ .

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{-3x^2}$
$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= -\frac{1}{3}$

On pose : $N(x)=x^2-3x+2\,$
et $D(x)=-3x^2+5x+2\,$ .

$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left(-\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}$
$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=D \left(-\frac{1}{3} \right)=0$
$-\frac{1}{3}$ étant une valeur interdite, nous allons envisager deux cas de figure : $x$ va tendre vers $-\frac{1}{3}$ soit par ${-\infty}$ , soit par ${+\infty}$ mais sans jamais l'atteindre.

Grâce au signe du trinôme, nous pouvons dire que :
pour $x<-\frac{1}{3}$ , $D(x)<0\,$ et $N \left(-\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0$ ainsi, $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}$	pour $x \in \left]-\frac{1}{3};2 \right[$ , $D(x)>0\,$ et $N \left(-\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0$ ainsi, $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}$

$\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0\,$
$\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0\,$

Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de type « $\frac{0}{0}$ ».

Comme $N (2) = 0$ et $D (2) = 0$ , $2$ est bien une racine de ces deux polynômes. Factorisons donc $f$ .

Soient $x 1$ et $x 2$ les racines de $N (x)$ .
$N(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0$
Nous savons que $x 1 = 2$ , donc : $2x_2= \frac{2}{1}$ et : $x_2=1\,$ .
Les racines de $N (x)$ sont : $1$ et $2$ .

Nous avons vu précédemment que les racines de $D (x)$ sont : $-\frac{1}{3}$ et $2$ , ainsi :
$f(x)= \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}$ $f(x)= \frac{(x-2)(x-1)}{-3(x-2)(x+\frac{1}{3})}$ $f(x)= \frac{x-1}{-3(x+\frac{1}{3})}$	donc	$\lim_{x \to 2} f(x)=f(2)$ $\lim_{x \to 2} f(x)=\frac{(2-1)}{-3(2+\frac{1}{3})}$ $\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}$

En résumé :

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \frac{1}{3}$	$\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}$
$\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}$	$\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}$

[modifier] Asymptotes

Regardons les courbes représentatives des fonctions suivantes :
$f:x \mapsto \frac{1}{x}$ et $f:x \mapsto \frac{1}{x} + x$ .

Dans le premier graphe, lorsque $x$ est de plus en plus grand ou de plus en plus petit, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses mais sans la toucher. Cette dernière est une asymptote horizontale de la fonction inverse.

De même, la courbe se rapproche également de l'axe des ordonnées, sans jamais la croiser, lorsque $x$ tend vers 0. Nous avons là une asymptote verticale de $f$ .

Dans le second graphe, la courbe représentative de $g$ se rapproche cette fois d'une droite ni horizontale ni verticale. Il s'agit d'une asymptote oblique de $g$ .

[modifier] Asymptote horizontale et verticale

Dire que la courbe représentative d'une fonction $f$ se rapproche d'une droite horizontale d'équation $y = a$ quand $x$ devient très grand (ou très petit) signifie que $f (x)$ tend vers la valeur $a$ quand $x$ tend vers l'infini.

Ainsi, la droite $\Delta:y=a\,$ est asymptote horizontale de $f$ si et seulement si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)=a$ .

Quand la courbe représentative de $f$ rapproche d'une droite verticale d'équation $\Delta_2:x=b\,$ , c'est $f (x)$ qui tend vers l'infini cette fois, lorsque x se rapproche de cette valeur $b$ .

$Δ 2$ est alors asymptote verticale de $f$ si et seulement si $\lim_{x \to b} f(x)=\pm \infty$ .

Chercher une asymptote horizontale d'une fonction revient à calculer la limite en $\pm\infty$ de cette fonction.

Lorsqu'il y a une asyptote verticale en $x = b$ , la courbe de la fonction ne touche pas la droite, et donc $f (b)$ n'est pas définie ; il s'agit d'une borne du domaine de définition de la fonction.

Chercher une asymptote verticale d'une fonction revient alors à calculer les limites aux bornes du domaine de définition de cette fonction.

[modifier] Asymptote oblique

L'écart entre une courbe représentative d'une fonciton $f$ et une asymptote oblique d'équation $\Delta_3:y=ax+b\,$ devient de plus en plus petit quand $x$ grandit.

La différence d'écart $f (x) - (a x + b)$ tend donc à diminuer jusqu'à devenir quasi-nulle quand $x$ tend vers l'infini.

Une droite d'équation $y = a x + b$ est asymptote oblique de $f$ équivaut à dire que : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)-(ax+b)=0$ .

[modifier] Exercices

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