Mathématiques au lycée/Nombres complexes

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La notion de nombre complexe a été introduite par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. L'aspect géométrique des nombres complexes ne se développe qu'à partir du XIX^e siècle chez l'abbé Buée et Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis ensuite chez Carl Friedrich Gauss et chez Augustin Louis Cauchy.

[modifier] Introduction de i

Pour comprendre la nécessité d'utiliser l'ensemble des nombres imaginaires, il faut tenter de résoudre une équation simple.

Résoudre 
on a (d'après la technique habituelle) 

Δ ne peut être négatif puisque l'opération qui suit demande de faire pour trouver les solutions de l'équation. Pour cette raison, les mathématiciens ont introduit un nombre (pour impossible ou imaginaire) et . Par convention, i n'est jamais écrit sous la racine carrée et très souvent, il est placé au numérateur d'une fraction, la place de i n'est pas obligatoirement devant ou derrière l'expression, mais nous plaçons i devant le radical comme nous le faisons pour des inconnues quelconques et le plus souvent (uniquement parce que la prononciation est plus simple ainsi) nous plaçons i après les nombres mais avant les inconnues.

À partir de cette écriture, nous pouvons résoudre l'équation comme n'importe quelle équation.

et

L'équation du second degré admet donc et comme solutions dans l'ensemble des complexes (nous allons voir juste après sa représentation géométrique) noté .

[modifier] Note

Nous utilisons la notation pour les solutions complexes, ainsi les élèves qui éprouvent des difficultés peuvent garder la notation pour les solutions réelles et pour les solutions complexes.

[modifier] Représentation géométrique

Le plan complexe en coordonnées cartésiennes

Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.
Néanmoins, les mathématiciens ont inventé le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy) où il est facile de les représenter. Ce plan ressemble au plan euclidien puisque sa base est orthonormée, l'axe des représente l'ensemble des réels et l'axe des représente l'ensemble des imaginaires purs , il faut bien noter qu'il ne s'agit que d'une représentation, ce n'est en aucun cas la réalité.

[modifier] Signification de et de M

Pour tout point M du plan complexe, M est appelé image de et l'affixe de M.

[modifier] La partie réelle et la partie imaginaire

Pour comprendre cette définition, nous allons continuer à utiliser notre exemple de l'introduction et nous allons décomposer et suivant ce qui est indiqué dans la définition.

Illustration des exemples

où et et où et Notons bien que ces deux décompositions sont uniques, comme le dit la définition.

Décomposition d'un nombre complexe : Décomposition de et

Pour terminer proprement la décomposition, x et y n'étant que des variables quelconques, il faut donner des symboles à ces parties réelles et imaginaires.

Ainsi, à la question, donnez les parties réelle et imaginaire de z1, la réponse est et

Exemple de décomposition : Partie réelle et partie imaginaire de

[modifier] Les cas des nombres réels et des imaginaires purs

Illustration des deux exemples

Pour , si alors est un imaginaire pur (il peut être représenté sur l'axe vertical des imaginaires purs de notre graphique) et si alors est un réel (il peut être représenté sur l'axe horizontal des réels purs de notre graphique)

 est un imaginaire pur
 est un réel

[modifier] Seconde manière de représenter les complexes dans le plan

Il existe en effet deux manières de représenter les nombres complexes dans le plan d'Argand-Cauchy, celle que nous venons de voir avec l'utilisation des parties réelles et imaginaires et celle qui met en place la notion d'argument et de module d'un nombre complexe. Cette seconde méthode utilise des notions de trigonométrie et pour éviter de tout mélanger, nous la verrons plus tard.

[modifier] Propriétés géométriques

Les propriétés géométriques des complexes sont les même que celles des réels:

• L'affixe d'un vecteur .
• L'affixe du milieu d'un segment est .
• Deux droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement s'il existe un nombre réel tel que , c'est-à-dire qu'il existe un avec .
• Les points sont alignés si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

[modifier] Propriétés des nombres imaginaires

[modifier] Opérations de bases

Illustration sur ces propriétés

Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division) s'effectuent de la même manière pour les nombres complexes que pour les nombres réels.

Expliquons cela par des exemples:

Soit  et  Calculer 
On fait 

Et nous faisons de même pour les soustractions.

Soit  et  Calculer 
On fait 

[modifier] Propriété de i

Illustration sur la propriété cyclique de i

La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.
Sachant que , calculer les autres puissances de i et représenter les images de i dans le plan complexe.

...

Il est en effet parfois utile de penser à dans les exercices où il est nécessaire de factoriser ou de développer.

[modifier] Égalité entre deux nombres complexes

[modifier] Expression conjuguée d'un nombre complexe

De la même manière que nous écrivons les racines carrées au numérateur des fractions, nous plaçons souvent le nombre imaginaire (le i) au numérateur dans une fraction. Et comme pour les autres expressions conjuguées (celle des racines carrées par exemple), nous utilisons la propriété pour éliminer les imaginaires du dénominateur.

Soit , calculer 

[modifier] Le conjugué d'un nombre complexe

Complexe et son conjugué

Il faut faire attention à ne pas confondre l'expression conjuguée d'un nombre complexe avec le nombre complexe conjugué. Pour retenir facilement que ce sont deux choses différentes, nous pouvons dire que l'expression conjuguée d'un nombre complexe est du genre féminin alors que le nombre complexe conjugué est du genre masculin. Néanmoins, nous utilisons l'expression conjuguée d'un nombre complexe pour calculer le nombre complexe conjugué d'une fraction.

Le conjugué de:
* est 
* est 

Nous pouvons aussi faire les remarques que:

• le nombre conjugué d'un réel est lui-même car la partie imaginaire est nulle.
• le nombre conjugué d'un imaginaire pur est l'opposé de cet imaginaire pur.

Le conjugué de:
* est , d'où 
* est  d'où 

[modifier] Opérations avec les nombres complexes conjugués

Démonstration, soit et , on a:

• Pour l'addition (et la soustraction):
  • 
  • 
  • 
• Pour la multiplication (et la puissance)
  • 
  • 
  • 
• Pour la division
  • 
  • 
  • 

D'où les résultats donnés en définition et la note sur l'ordre des calculs, ce qui fait que nous pouvons utiliser deux méthodes pour calculer un nombre complexe conjugué.

Soit  et , le conjugué de  est:
* Première méthode
 
* Seconde méthode

Les deux méthodes conduisent donc bien au même résultat

[modifier] Utilisation des nombres complexes conjugués

Nous avons vu dans la section La partie réelle et la partie imaginaire que nous pouvions séparer ces deux parties. Pour pouvoir le faire, il fallait développer le plus possible le nombre complexe pour le faire apparaître sous la forme . Il existe une autre technique plus rapide pour déterminer ces deux parties, en utilisant le nombre complexe conjugué.

La démonstration est simple, pour , il suffit de faire l'addition de pour obtenir la partie réelle et la soustraction pour obtenir la partie imaginaire.

[modifier] Module d'un nombre complexe

Démonstration de
, d'où

En effet, soit deux points A et B respectivement d'affixe et est

Or
D'où

Calculer la distance  où  et  sont les affixes des deux points.

[modifier] Propriétés de module

[modifier] Détermination d'ensembles de points

Nous pouvons considérer des fonctions entre deux nombres complexes (comme nous faisons habituellement avec deux nombres réels). La différence la plus importante étant que pour les réels, la fonction est de la forme alors que pour les complexes, nous avons .

Un exemple de fonction complexe est  tel que 

[modifier] Ensemble de définition

Nous utilisons la définition des fonctions réelles.

Comme pour les fonctions réelles, il faut vérifier qu'une fonction complexe est définie.
On vérifie donc que:

• le dénominateur est différent de zéro
• le nombre sous la racine carrée (radicande) est positif (sinon, il faut introduire i)
• l'expression de la fonction logarithme népérien est strictement positive

Illustration de l'exemple

Soit .
la fonction  est définie si et seulement si son dénominateur  
est différent de zéro.
On résout l'équation  et les solutions formeront l'ensemble de points
 à exclure de l'ensemble de définition.


.
L'ensemble de définition de f est .

[modifier] Détermination d'un ensemble

Nous connaissons la détermination d'ensembles de points réels (vue en classe de Seconde) qui se limitait à la fois à une dimension (la droite des réels) et aux inégalités, nous pouvons faire de même avec les complexes. La seule différence étant que les points appartiennent au plan complexe (deux dimensions).
Nous avons listé ici les différentes possibilités envisageable en classe de Terminale S.

• Dans le cadre des équations, il s'agit le plus souvent de plusieurs points séparés ou de cercles.
• Dans le cadre des inéquations, il s'agit le plus souvent de demi-droites ou de disques.
• Nous pouvons aussi avoir l'inverse, c'est à dire avoir l'ensemble des complexes privé:
  • d'un ou de plusieurs points séparés
  • d'un segment, demi-droite, droite
  • d'un cercle, d'un disque

Illustration de l'exemple

Déterminer les ensembles de points M tel que:
* .On a  (d'après Module d'un nombre complexe)
L'ensemble cherché est formé des points M tel que ,
c'est à dire du cercle de centre O et de rayon 6

*  de la même manière, 
L'ensemble cherché est le disque de centre A d'affixe  et de rayon 3.

* . On pose  et 
On a  d'où 
Le point M est équidistant de A et B, l'ensemble cherché est la médiatrice de [AB]

[modifier] Équation d'un ensemble

Nous pouvons aussi déterminer une équation d'un ensemble de points, c'est à dire (pour le niveau Terminale) déterminer l'équation d'une droite ou d'un cercle.

Déterminer les équations des ensembles précédents (paragraphe précédent):
* . On pose .
On a , , , donc .
On retrouve bien l'équation d'un cercle de centre O et de rayon 6.

*  de la même manière, on pose .
On a , 
L'ensemble cherché est bien le disque de centre  et de rayon 3.

* , on pose .
On a 
  d'où 
On développe, d'où  et donc .
L'ensemble cherché est la droite d'équation 

[modifier] Équations

Les équations dans l'ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l'ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser z = x + iy mais à d'autres moment, laisser z facilite les calculs.

Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.

[modifier] Équations du premier degré

[modifier] Équations du premier degré avec uniquement

Dans ce genre d'équation, il n'est pas utile de poser .

Résoudre 
On écrit:

[modifier] Équations du premier degré avec et

À l'inverse, il est nécessaire ici de poser et , et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes.

Illustration de l'exemple

Résoudre On pose z = x + iy et : Ce qui nous donne: D'après la définition, les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales. Il faut bien comprendre que le premier nombre complexe est et que le second est . On obtient donc deux équations: On résout comme tout système d'équations, on veux faire en sorte de ne plus avoir de y dans l'équation. On a D'où et on remplace par sa valeur et on obtient La solution est donc

Équations : Équations du premier degré avec et

[modifier] Équations du second degré

[modifier] Équation en

Illustration des deux exemples

Résoudre dans : et d'où . Les deux solutions sont réelles. d'où . Les deux solutions sont imaginaires pures.

Équations : Équations du second degré en

[modifier] Équations en

Nous pouvons résoudre des équations simples où . Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.

Illustration de l'exemple

Résoudre dans : . Il suffit de calculer le discriminant Δ de l'équation. . L'équation admet deux solutions.

Équations : Équation du second degré en

Nous pouvons aussi résoudre des équations où . Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer z.

Illustration de l'exemple

Trouver une solution imaginaire pure de . On a donc avec et un réel. On remplace dans l'équation. Soit On a d'où On obtient donc le système. Or ce nombre complexe est nul, ce qui signifie que les parties réelles et imaginaires sont nulles. On résout la seconde équation et on remplace dans la première. . est solution donc l'équation admet le nombre imaginaire pur comme solution. Ensuite, nous pouvons résoudre complètement l'équation et trouver la seconde solution (c'est une équation du second degré, elle admet donc deux solutions). Il suffit de mettre en facteur (en utilisant la même technique que pour les équations réelles). On a: , où s'écrit de la forme . Par identification, on a , d'où . D'où, , donc Finalement les deux solutions sont et .

Équations : Équation du second degré en

[modifier] Équations particulières du troisième degré

Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidé. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est à dire . Si la solution n'est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution.

Illustration de l'exemple

Soit l'équation  et soit la fonction 
1) Montrer que  est solution de .
,  est solution de ,
 nous pouvons écrire .
2) Déterminer 
Par identification (mais on peut aussi utiliser la division euclidienne de polynômes),
 ,
 d'où 
Donc 
3) En déduire toutes les solutions de 
 donc  ou .
 Cette équation est du second degré.
 
Donc .

Finalement, 

[modifier] Écriture exponentielle et trigonométrique

Comme nous l'avions dit lors de la définition cartésienne des complexes, il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

[modifier] Rappels de trigonométrie

Cercle trigonométrique pour un point M quelconque

Cette section est vue en classe de Première Scientifique.

Rappels important:

• est l'abscisse du point M
• est l'ordonée du point M

[modifier] Définitions

Illustration des exemples de #La partie réelle et la partie imaginaire (nouvelle écriture)

Si nous reprenons nos exemples et , nous voyons que nous pouvons tracer les segments et et déterminer un angle entre l'axe des abscisses (des x ou des réels) et ce segment.
Cet angle est nommé argument de (noté et très souvent l'angle compris dans l'intervalle est noté ), et est nommé module de z.

On a aussi (d'après les rappels de trigonométrie):

Illustration des exemples

1) Soit , écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique:
* Calcul du module:
* Calcul de l'argument: d'où 
Donc 

2) Soit ρ = 3 et , écrire ce complexe sous forme cartésienne.
* Calcul de la partie réelle:
* Calcul de la partie imaginaire:
D'où 

[modifier] Propriété de la multiplication des nombres complexes

Démonstration (avec la forme exponentielle):Soit et avec .



On a bien les trois propriétés vérifiées puisque est un nombre complexe, son argument est égal à la somme des arguments des deux nombres complexes que l'on a multiplié et son module est égal au produit des modules des deux nombres complexes que l'on a multiplié.

Démonstration (avec la forme trigonométrique):Soit et avec on prend pour simplifier les calculs.



Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie qui nous donnes:

On a donc et nous pouvons faire la même remarque.

[modifier] Propriétés des arguments et des modules

Illustration des exemples

Soit , calculer:
* 
* 
* 

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d'un angle. Il suffit de:

• Décomposer l'angle en somme de deux angles
• Prendre un module de 1 (pour que le point soit sur le cercle trigonométrique)
• Utiliser la propriété de la multiplication des nombres complexes
  • Donner où est notre angle
  • Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes que nous avons fabriquer
  • Multiplier ses deux nombres complexes sous leurs formes algébriques
• Séparer les parties réelles et imaginaires en rappelant la définition de l'égalité de deux nombres complexes

On veut déterminer  et .
On peut dire que  et que 
On a donc  et 

D'où 

De plus, si on fait les calculs,  et .
D'où 

Par identification, 

[modifier] Utilisation des complexes en géométrie

[modifier] Transformations géométriques

Nous pouvons maintenant, en connaissant les deux écritures des nombres complexes, étudier les transformations géométriques.

[modifier] Translations

Illustration de la définition

Démonstration:On a avec les points d'affixes respectives et d'affixe .
On a donc . Or d'après les propriétés géométriques, est l'affixe de .
D'où
Nous sommes bien en présence d'une translation.

Déterminer l'affixe  de B, image du point  d'affixe  par la translation .

L'affixe du point  est donc 

[modifier] Rotations

Illustration de la définition

Démonstration: On a avec les points d'affixes respectives et l'angle formé par le couple .
On a donc .
Le module de devient d'où
L'argument de devient .
Nous sommes bien en présence d'une rotation.

Déterminer l'image  (d'affixe ) du point  (d'affixe )
 par la rotation d'angle  et de centre  (d'affixe ).
On a  où on remplace les inconnues par leurs valeurs.
D'où 


Donc l'affixe du point B est .

[modifier] Homothéties

Illustration de la définition

Démonstration : est l'homothétie de centre et de rapport , équivaut à .
On note et les affixes respectives de et , l'affixe de est , celle de est . Donc équivaut à .

Déterminer l'affixe  de , image du point  d'affixe 
par l'homothétie de centre  d'affixe  et de rapport 
On a  où on remplace les inconnues par leurs valeurs.
D'où 


Donc l'affixe du point  est 

[modifier] Similitude plane quelconque

L'étude d'une similitude plane quelconque n'est pas au programme du tronc commun, seuls les élèves suivant une spécialité mathématiques doivent connaître ces transformations. De plus, les élèves ne doivent connaître que la similitude plane directe, l'étude d'une similitude plane indirecte sera guidée par l'étude de similitudes planes directes.

La formule générale d'une similitude plane directe est avec . Nous pouvons donc noter que les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes planes directes particulières.

La formule générale d'une similitude plane indirecte est avec .

[modifier] Un problème de géométrie

Illustration du problème

Dans le repère des complexes, soit:
* Le point  d'affixe 
* Le point  d'affixe 
* Le point  d'affixe .

1) Calculer l'affixe du point  tel que  soit l'image de 
par la rotation de centre  (d'affixe ) et d'angle 

2) Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormée 
directe est 

3) Soit le triangle 

  a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs .

  b) Déterminer la nature du triangle 

  c) Déterminer le centre et le rayon du cercle  circonscrit au triangle.

4) Soit  la rotation de centre  et d'angle .

  a) Quelles sont les images des points  par . (on utilisera les 
notations )

  b) Quelle est l'image de  par 

  c) Déterminer l'antécédent de  par 

[modifier] L'utilisation pratique des nombres complexes

Pour les mathématiques, nous avons vu que les nombres complexes sont utilisés pour résoudre certaines équations et pour comprendre certains aspects des transformations géométriques. Ils sont en plus utilisés pour l'étude des polynômes, pour l'analyse complexe ainsi que pour l'étude des fractales.
Néanmoins, ce n'est pas en mathématiques que les nombres complexes sont le plus utilisés, mais en sciences physiques et plus particulièrement en électromagnétisme et en mécanique des fluides. En effet, les physiciens doivent souvent travailler avec des fonctions sinusoïdales, pour simplifier les calculs, ils utilisent la forme exponentielle pour faire les calculs et à la dernière ligne rappellent que seule la partie réelle est importante. Il faut alors faire attention puisque les physiciens ont noté le nombre imaginaire (le en mathématiques) parce que (ou ) désigne déjà l'intensité dans leurs notations).
La mécanique quantique est la dernière branche de la physique à s'être approprié les nombres complexes aussi pour simplifier les équations lorsque le nombre de dimension est trop important (jusqu'à 11 dimensions).

[modifier] Liens externes

• Les nombres complexes sur sesamath.net
• L'article Nombre complexe sur Wikipédia (l'en-tête vient de l'article oldid du 14 juin 2006 à 07:59)