Mathématiques au lycée/Polynôme

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1 Monôme
2 Polynôme
3 Fonction polynôme
4 Voir aussi

[modifier] Monôme

Soit $(a,x) \in \mathbb{R}^2$ .
Soit $n \in \mathbb{N}$ .

Un monôme $M\,$ est une expression de la forme : $M=a{x^n}\,$ .

Montrons que l'écriture $M=a{x^n}\,$ est unique.
Soit $b \in \mathbb{R}$ .
Soit $p \in \mathbb{N}$ .

Supposons que $M=a{x^n}\,$ et $M=b{x^p}\,$ .

En particulier, si $x=1\,$ , $M=a\,$ et $M=b\,$ donc $a=b\,$ .
Pour tout , on a alors : et , donc
- si $a=0\,$ , $M=0\,$
- sinon, on a :

${x^n}={x^p}\,$
donc ${x^{n-p}}=1\,$
soit $n-p=0\,$
ainsi $n=p\,$ .

L'écriture $M=a{x^n}\,$ est donc unique, nommons les termes :

$a\,$ est le coefficient du monôme
$n\,$ est le degré du monôme

Exemples :

$3{x^2}\,$ est un monôme de degré 2 et de coefficient 3
$-7{x^5}\,$ est un monôme de degré 5 et de coefficient (-7)
$\sqrt{2}{x^0}$ , est un monôme de degré 0 et de coefficient $\sqrt{2}$

Cas particuliers :

si $n=1\,$ , $M=ax\,$ ; $M\,$ est un monôme de degré 1, on dit qu'il est unitaire
si $a=0\,$ , $M=0\,$ ; $M\,$ est le monôme nul ; par convention, son degré vaut $-\infty$

[modifier] Polynôme

Un polynôme $P\,$ est une somme de monômes.

Soit $(a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ .
Soit $n \in \mathbb{N}$ .

$P\,$ est alors de la forme : $P=a_n{x^n}+a_{n-1}{x^{n-1}}+...+a_2{x^2}+a_1{x}+a_0\,$ .
Son écriture réduite ordonnée est : $P= \sum_{i=0}^n a_i{x^i}$ . Nous admettrons qu'elle est unique.

les $a_i\,$ sont les coefficents du polynôme
$a_n{x^n}\,$ est le terme de plus haut degré
$a_n\,$ est le coefficient du terme de plus haut degré

D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens , évidemment parce que cela a un intérêt :

Soit $(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ .
et

$P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}\,$ .

En voici la raison , du point de vue du physicien , souvent $b 0$ est non nul et on ne considère que les polynômes moniques (ce coefficient vaut 1) , alors si la dimension de x est [L] , la dimension de $b k$ est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.

- Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :

$X^3 + p X + q \,$

vaut :

$\Delta = 4 p^3 +27 q^2 \,$

Cette expression est "homogène" et pertinente (p puissance impaire , et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q' , on aurait eu le "discrimant réduit" p'^3 + q'^2 , plus étudié chez les physiciens comme "plus naturel"(?).

- L'explication très simple qu'on peut en donner est la remarque suivante: l'équation du troisième degré a au moins une racine réelle , appelons-la x1 := 2 xo . La mise en facteur donne un polynôme du deuxième degré qui va conduire au discriminant ordinaire , qui discriminera s'il y a une ou trois racines réelles : la "transition de phase" (le changement de comportement en mathématiques) aura lieu quand la racine sera double , donc quand elle vaudra -xo, puisque la somme des racines est nulle donc alors P(x) = (x-2xo)(x²+2x.xo +xo²) = x^3 + 3x0².x - 2xo^3 :soit p' = xo² et q' = -xo^3.

Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase.(Il s'agit juste d'une translation du vocabulaire entre les deux disciplines).

[modifier] Fonction polynôme

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