Mathématiques du traitement du signal:Développements limités

Un livre de Wikibooks.

Le développement de Taylor permet d'écrire:

C(S+\alpha\, \delta S) = C(S) + \sum_{n=1}^N {1\over n!}\, \partial^n_S C(S)\, (\alpha\, \delta S)^n + o(\delta S^N)

on peut alors toujours combiner ces développements avec differents αi via une somme pondérée par des coefficients βi et obtenir:

\sum_{i=1}^I \beta_i \, C(S+\alpha_i\, \delta S) = \left(\sum_i \beta_i\right) C(S) + \sum_{n=1}^N \left(\sum_i \beta_i \alpha_i^n\right) {1\over n!}\, \partial^n_S C(S)\, (\alpha\, \delta S)^n + o(\delta S^N)

on peut alors choisir les αi et βi de sorte que toutes les puissances de δS jusqu'à N s'annulent (δi(j) est l'indice de Kroeneker):

(1.1)\;\; \sum_{i=1}^N \beta_i \alpha_i^n = \delta_{\{0,N\}}(n) ,\, \forall 1\leq n< N

On aura alors:

\sum_{i=1}^N \beta_i \, C(S+\alpha_i\, \delta S) = C(S) + \partial^N_S C(S) \, \delta S^N + o(\delta S^N)

L'équation (1.1) fait apparaître une matrice de Vandermonde (in fr.wikipedia):

(1.2)\;\; {\rm VdM}(\alpha)' \beta = \Delta_{\{0,N\}},\, {\rm VdM}(\alpha)= \begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_1^N\\ 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^N\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 & \alpha_N & \cdots & \alpha_N^N \end{pmatrix},\; \Delta_{\{0,N\}} = \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}

Récupérée de « http://fr.wikibooks.org/wiki/Math%C3%A9matiques_du_traitement_du_signal:D%C3%A9veloppements_limit%C3%A9s »