Photographie/Mathématiques/Découverte des logarithmes

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plan du chapitre en cours

Mathématiques

Notion d'angle solide (B)
Puissances et racines des nombres (B)
Progressions arithmétiques et géométriques (B)
Découverte des logarithmes (B)
Que fait-on avec les logarithmes ? (B)
Le nombre d'or (AB)

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■ annexes

Il y a la version pessimiste, celle du Grand Contrepéteur : aucun étudiant n'est jamais suffisamment fort pour ce calcul ... Il y a aussi les nombreuses versions optimistes, qui disent :

toutes choses sont difficiles avant que d'êtres faciles (proverbe oriental).
choisis toujours le chemin qui semble le meilleur même s'il paraît plus difficile : l'habitude le rendra bientôt agréable (Pythagore).

Faute d'inciter leurs lecteurs à faire un petit effort, la plupart des auteurs de livres sur la photographie sont obligés d'utiliser des raisonnements approximatifs, des périphrases, ... pour essayer, en vain le plus souvent, de se faire comprendre. Ils sont confortés dans cette idée par un enseignement des mathématiques devenu parfois tellement abscons qu'il a pour effet premier de provoquer la fuite des élèves traumatisés (et pourtant pas assez mathisés).

Pour peu que les lecteurs manifestent quelque envie de savoir, il devient possible, sans céder à la facilité, de leur faire comprendre de façon simple certaines notions apparemment difficiles.

[modifier] Premier contact

Reprenons l'exemple vu à la fin du chapitre précédent. Peu importe pour l'instant comment on les calcule, admettons simplement que les nombres a et b insérés dans la progression arithmétique, en haut, correspondent aux nombres A et B insérés dans la progression géométrique, en bas, tout comme 0 correspond à 1, 1 à 10, 2 à 100, 3 à 1 000, etc.

0	a	1	2	b	3	...
	$\Updownarrow \,$			$\Updownarrow \,$
1	A	10	100	B	1000	...

En prenant pour exemples 10¹ = 10, ou 10² = 100, etc., prenons le risque d'écrire :

$10^a = A, \quad 10^b = B, ...$

Il faut élever 10 à la puissance 2 pour obtenir 100, à la puissance 3 pour obtenir 1 000, à la puissance a pour obtenir A, à la puissance b… etc.

Le logarithme décimal d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre. Ainsi 0 est le logarithme de 1, 2 le logarithme de 100, a le logarithme de A, b celui de B, ... Il n'y a rien à comprendre ici, c'est seulement une définition !

Ceci posé, les logarithmes possèdent des propriétés remarquables. Nous allons tranquillement en découvrir quelques unes, pour arriver à celle qui nous intéresse au premier chef :

la perception des sens humains est logarithmique !

La spirale logarithmique du Nautile

En plus, nous vivons entourés de logarithmes, si l'on peut dire. La spirale logarithmique, par exemple, se retrouve dans la coquille du Nautile, les fleurs de tournesol, les pommes de pins, l'apex des cactus ou les lames de sécateurs.

Ecrivons donc :

$10^{\log A} = A,\quad 10^{\log B} = B$

et lisons : 10 à la puissance logarithme de grand A égale grand A, ...

Mais que se passe-t-il si nous essayons de multiplier A par B ?

$A \times B = 10^{\log (A \times B)} = 10^{\log A} \times 10^{\log B} = 10^{(\log A + \log B)} \,$

par conséquent $\log(A \times B) = \log A + \log B \,$

Le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme de leurs logarithmes.

Cette propriété fondamentale était utilisée pour construire des règles à calcul, fidèles compagnes pendant des décennies de tous les ingénieurs et autres étudiants en sciences. La graduation tout en bas, marquée L, est dite linéaire, ses traits sont équidistants. Les deux graduations identiques gravées juste au-dessus sont au contraire logarithmiques, leurs traits se resserrent progressivement de la gauche vers la droite, au fur et à mesure que les valeurs augmentent.

[modifier] Trouver le logarithme d'un nombre

Revoyons de plus près les graduations de notre bonne vieille règle à calculs. Pour les besoins de la cause, les deux échelles inférieures de la règle ont été inversées sur l'image ci-dessous.

L'échelle a correspond aux nombres de 1 à 10 et l'échelle L, qui est graduée de 0 à 1, à leurs logarithmes. Les graduations sont alignées pour faire correspondre le logarithme 0 au nombre 1 et le logarithme 1 au nombre 10, conformément à ce que nous savons déjà. Mais maintenant nous pouvons obtenir par une simple lecture toutes les valeurs intermédiaires.

Par exemple, si nous prenons le nombre 2 sur l'échelle a, nous trouvons que son logarithme vaut 0,3. Le logarithme de 5 vaut approximativement 0,7, etc. Retenons bien cette valeur particulière :

$\log 2 \approx 0,30103 \approx 0,3 \,$

Nous ne parlerons évidemment pas ici des méthodes qui permettent de calculer les logarithmes. En effet, on peut facilement élever le nombre 10 à la puissance 3, c'est-à-dire effectuer la multiplication 10 × 10 × 10 pour trouver 1000. Mais comment peut-on élever 10 à la puissance 0,3, c'est-à-dire multiplier ce nombre 0,3 fois par lui-même pour obtenir le nombre 2 ?

Nos deux petites échelles nous suffiront largement ici … à condition que nous puissions calculer les logarithmes des nombres plus petits que 1 ou plus grands que 10 !

En fait tout nombre A peut être mis sous la forme du produit d'un nombre a compris entre 0 et 9,99999...par une puissance de 10. Prenons le nombre 20 par exemple :

20 = 2 × 10 = 10^{log 20} = 10^{log (2×10)}

20 = 10^{log 2} × 10^{log 10} = 10^{(log 2 + log 10)}

20 = 10^{(log 2 + 1)}

donc log 20 = log 2 + 1 = 0,3 + 1 = 1,3

Plus généralement :

A = a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

Par exemple : 4917, 3 = 4,9173 × 10³

ou encore 0,000831 = 8,31 × 10^-4

log A = log (a × 10ⁿ) = log a + log 10ⁿ = log a + n

$\log (a \times 10^n) = \log (a) + n \,$

Il en résulte que si nous connaissons les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10 nous pouvons calculer tous les autres !

$\log\, 2000 = 0,3 + 3 = 3,3$

$\log\, 20 = 0,3 + 1 = 1,3$

$\log\, 2 = 0,3 + 0 = 0,3$

$\log 0{,}2 = 0,3 - 1 = -0,7 = \bar{1},3$

$\log 0{,}00002 = 0,3 - 5 = -4,7 = \bar{5},3$

La notation de la fin des deux dernières lignes est un peu particulière. La première partie du nombre, coiffée d'une barre, est négative. On lit par exemple "moins 5, virgule 3". Ceci permet de conserver les chiffres après la virgule, lesquels dépendent uniquement des chiffres significatifs du nombre de départ et constituent la caractéristique de son logarithme. Avant la virgule se trouve la mantisse du logarithme, qui définit quant à elle l'ordre de grandeur du nombre d'origine.

Remarque : Nous venons de définir ici les logarithmes décimaux ou logarithmes à base 10 en écrivant :

$10 log A = A$

En fait, au lieu de 10, nous aurions pu prendre comme base n'importe quel autre nombre N positif, il existe d'autres sortes de logarithmes :

$N^{\log_N B} = B$

La base est précisée en indice lorsqu'elle n'est pas égale à 10, sauf pour les logarithmes népériens pour lesquels la base est le nombre irrationnel e = 2,71828... et qui se notent « ln ». Par exemple, log₂ x est le logarithme à base 2 du nombre x. Des formules de conversion permettent de calculer les logarithmes quelle que soit leur base.

Voici quelques décennies, les règles à calcul donnaient par simple lecture des valeurs approchées des logarithmes décimaux. Des valeurs plus précises étaient tirées de "tables" imprimées. Celles des "taupins" étaient des livres de quelques centaines de pages « seulement », tandis que celles des astronomes étaient d'énormes volumes qui trônaient à portée de main sur les rayonnages. Des centaines de milliers de nombres calculés à la main, un travail colossal, avec parfois des erreurs.

De nos jours les calculatrices de poche ou les ordinateurs accomplissent ces calculs en moins de temps qu'il n'en faut pour l'écrire !

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