Produit scalaire (E-M)

Exercices de mathématiques Sommaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs d'un espace vectoriel un scalaire en vérifiant un certain nombre de propriétés de linéarité et de symétrie (voir produit scalaire)

[modifier] Produit scalaire niveau lycée

...à faire...

Montrer que l'application $E\times E \longrightarrow \mathbb R,\ (P,Q)\longmapsto (P|Q)=\int_{-1}^{1} {{\tilde P(t)\,\tilde Q(t)}\over{\sqrt{1-t^2}}}\,dt$ est un produit scalaire sur $E$ . $E$ est alors l'espace vectoriel préhilbertien réel $(\mathbb R[X],(.|.))$ . Considérons la famille $(T_n)_{n\in\mathbb N}$ d'éléments de E vérifiant $\forall n\in\mathbb N,\forall \theta \in \mathbb R,\,T_n(cos\,\theta)=cos(n\,\theta)$ (les polynômes de Tchebytchev de première espèce).
Montrer que la famille $(T_n)_{n\in\mathbb N}$ est orthogonale. Calculer la norme de chaque élément.

Montrer que l'application $E\times E \longrightarrow \mathbb R,\ (M,N)\longmapsto (M|N)=Tr({}^t\!M\,N)$ est un produit scalaire sur $E$ . $E$ est alors l'espace vectoriel préhilbertien $(\mathrm M_n (\mathbb K),(.|.))$ .Soit $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb K)$ . Soit $u$ l'endomorphisme de E défini par $\forall M\in E, u(M)=P^{-1}\,M\,P$ .
Quel est l'adjoint de $u$ ?