Pour représenter des surfaces paramétrées, on utilise la seule chose que Blender sache gérer: Des polyèdres. Seulement ils ont tellement de faces et elles sont si petites, que le polyèdre aura l'air, si on n'y fait trop attention, d'une surface de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ . Cette représentation des surfaces par des approximations polyédrales est à la base de chapitres entiers des mathématiques:

la méthode des éléments finis en analyse numérique;
la cohomologie en topologie.

Dans les deux cas, la surface est approchée par une triangulation. Comme les deux paramètres de la surface

$\left\{{\begin{array}{l}x=f(u,v)\\y=g(u,v)\\z=h(u,v)\end{array}}\right.$

s'appellent souvent $u$ et $v$ , le nom d' uv-mapping est souvent utilisé dans les logiciels de 3D (comme Blender) pour désigner les coordonnées de textures.

Ci-dessous on va représenter une surface unilatère, la surface romane de Steiner.

Expression paramétrique

La surface de Steiner est donnée par la représentation paramétrique suivante:

$\left\{{\begin{array}{l}x=sin(2u)sin^{2}v\\y=sin(u)sin(2v)\\z=cos(u)sin(2v)\end{array}}\right.$

avec $0\leqslant u\leqslant \pi$ et $0\leqslant v\leqslant \pi$ .

sommets

Entête du fichier

Comme précédemment, on importe les classes Blender et bpy, mais aussi les fonctions trigonométriques et $\pi$ , qui sont des méthodes (et propriété pour $\pi$ ) de l'objet math:

from Blender import *
import bpy
from math import pi, cos, sin
sommets=[]

Liste des sommets

Lors de sa création, la liste des sommets est vide. Il reste donc à la remplir, ce qui se fait par quelque chose qu'on n'a pas utilisé dans l'article précédent: Une boucle. Celle-ci est double (puisqu'il y a deux paramètres) et ses deux indices sont choisis entre 0 et 100 (pour i) et entre 0 et 50 (pour j). Pour passer de $0\leqslant i\leqslant 100$ à $0\leqslant u\leqslant \pi$ , on multiplie i par ${\frac {\pi }{100}}$ pour avoir u. De même, $v=j\times {\frac {\pi }{50}}$ :

for i in range(0,100):
		u=i*pi/100
		for j in range(0,50):
				v=j*pi/50
				x=sin(2*u)*sin(v)**2
				y=sin(u)*sin(2*v)
				z=cos(u)*sin(2*v)
				sommets.append([x,y,z])

x, y et z sont calculés à partir de u et v avec les formules ci-dessus, puis le sommet (x,y,z) est ajouté à la base de donnée des sommets. À l'issue de cette boucle, la surface de Steiner sera riche de $101\times 51=5151$ points.

Il reste à trouver, dans cette immense collection, quels sommets sont reliés à quels autres.

faces

plan des (u,v)

Les faces seront des quadrilatères, bordés horizontalement par des lignes de niveau de v et verticalement par des lignes de niveau de u. Les numéros des sommets correspondent à l'ordre de leur création, soit colonne par colonne:

|   |   |   |  
4--54-104-154-  
|   |   |   |
3--53-103-153-
|   |   |   |
2--52-102-152-
|   |   |   |
1--51-101-151-
|   |   |   |
0--50-100-150-

tableau des faces

Ainsi, chaque sommet a un numéro de la forme $50i+j$ , et est relié successivement aux sommets de numéros $50i+j+50$ , $50i+j+51$ et $50i+j+1$ . Il suffit alors de créer un tableau initialisé à 0 pour les faces, et d'y ajouter des listes telles que celle ci-dessus, au fur et à mesure, dans une double boucle:

faces=[]
for i in range(0,99):
		for j in range(0,49):
					faces.append([50*i+j,50*i+j+50,50*i+j+51,50*i+j+1])

En réalité, il manque des faces telles que 49-99-50-0 et 5000-0-1-5001 mais leur absence ne se verra pas, et corriger cet oubli, est laissé en exercice...

Création de la surface de Steiner

Ensuite comme précédemment il reste à

Instancier un objet héritant de la classe meshes, et l'appeler pp (comme plan projectif)
Y placer les sommets calculés ci-dessus;
Y ajouter les faces calculées ci-dessus;
Rendre la scène Blender active pour pouvoir la modifier;
En profiter pour y placer l'objet surface de Steiner

Ce qui s'écrit ainsi:

st=bpy.data.meshes.new('pp')
st.verts.extend(sommets)
st.faces.extend(faces)
scn = bpy.data.scenes.active    
ob = scn.objects.new(st, 'steiner')

Ensuite il suffit de cocher le bouton Set smooth pour arrondir les angles (et en profiter pour décocher le bouton double sided puisque pour une fois, on a défini une surface unilatère), à texturer la surface avec un matériau transparent, puis à effectuer un rendu:

Exercice

Construire une bouteille de Klein en utilisant la représentation paramétrique de Jeener [1]: